gromov-wasserstein

b'gromov-wasserstein是一种运用于测度度量问题上的数学方法，通过一定的算法和技巧，它可以对不同难度的实际问题进行计算和求解。该方法的广泛应用领域包括数据处理、机器学习、计算机视觉等。'

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视频讲解gromov wasserstein

Gromov-Wasserstein距离是一种用于测量两个概率分布之间的相似性的方法。它是由Gromov和Wasserstein在2003年提出的。

在介绍Gromov-Wasserstein距离之前，我们需要了解Wasserstein距离。Wasserstein距离是用于测量两个概率分布之间距离的一种方法。它是基于传输问题的解决方案，其中我们将一个分布映射到另一个分布，以最小化映射的总成本。

Gromov-Wasserstein距离是Wasserstein距离的一种扩展，它将传输问题扩展到了多个空间之间。它的基本思想是将每个空间映射到一个共同的空间中，然后在该共同空间中计算Wasserstein距离。

具体而言，设有两个度量空间 $(X, d_X)$ 和 $(Y, d_Y)$，以及两个概率分布 $\mu \in \mathcal{P}(X)$ 和 $\nu \in \mathcal{P}(Y)$。我们想要找到一个映射 $\phi: X \rightarrow Y$，使得 $\mu$ 和 $\nu \circ \phi^{-1}$ 的Wasserstein距离最小。这里 $\nu \circ \phi^{-1}$ 表示通过映射 $\phi$ 将 $\phi(X)$ 映射回 $Y$ 后得到的分布。

Gromov-Wasserstein距离是这些最小成本的下界，其中成本是在一个共同的空间中计算的，该空间由三元组 $(Z, d_Z, \gamma)$ 表示，其中 $d_Z$ 是空间 $Z$ 上的度量，$\gamma \in \mathcal{P}(X \times Z \times Y)$ 是满足以下条件的联合分布：

$$
\begin{aligned}
&\text{proj}_X \#\gamma = \mu, \quad \text{proj}_Y \#\gamma = \nu \\
&\text{proj}_{X,Z} \#\gamma = \gamma_0 \in \mathcal{P}(X \times Z), \quad \text{proj}_{Z,Y} \#\gamma = \gamma_1 \in \mathcal{P}(Z \times Y)
\end{aligned}
$$

这里 $\text{proj}_X$、$\text{proj}_Y$ 和 $\text{proj}_{X,Z}$、$\text{proj}_{Z,Y}$ 分别是从 $X \times Z \times Y$ 到 $X$、$Y$ 和 $X \times Z$、$Z \times Y$ 的投影算子，$\#\gamma$ 表示分布 $\gamma$ 的投影测度。

Gromov-Wasserstein距离定义为：

$$
d_{GW}(\mu, \nu) = \inf_{(Z, d_Z, \gamma)} \sqrt{\int_{X \times Z \times Y} d_Z(x,z,y)^2 d\gamma(x,z,y)}
$$

其中 inf 取遍所有满足条件的 $(Z, d_Z, \gamma)$。

总之，Gromov-Wasserstein距离是一种多空间间隔度量，它可以用于测量两个概率分布之间的相似性。