轮式里程计预积分因子的计算公式

轮式里程计预积分因子的计算公式如下：

$\begin{bmatrix}
\Delta R_{wb} & \Delta t_{wb} \\
0_{3 \times 3} & 1
\end{bmatrix} = \prod_{i=k}^{j-1} \begin{bmatrix}
\Delta R_{i,i+1} & \Delta t_{i,i+1} \\
0_{3 \times 3} & 1
\end{bmatrix}$

其中，

$\Delta R_{wb}$ 和 $\Delta t_{wb}$ 分别表示从时刻 $k$ 到时刻 $j$ 的旋转和平移累积量；

$\Delta R_{i,i+1}$ 和 $\Delta t_{i,i+1}$ 表示从时刻 $i$ 到时刻 $i+1$ 的旋转和平移量。

这个公式涉及矩阵乘法和矩阵指数运算。具体计算时，可以按照以下步骤进行：

1. 将所有的旋转和平移量组成一个数组，即 $\boldsymbol{\omega} = [\Delta R_{k,k+1}, \Delta t_{k,k+1}, \Delta R_{k+1,k+2}, \Delta t_{k+1,k+2}, \dots, \Delta R_{j-1,j}, \Delta t_{j-1,j}]$。

2. 对于每个旋转和平移量，计算相应的增量矩阵，即 $\boldsymbol{\delta}_{i} = \begin{bmatrix}
\Delta R_{i,i+1} & \Delta t_{i,i+1} \\
0_{3 \times 3} & 1
\end{bmatrix}$。

3. 将所有的增量矩阵按照时间顺序相乘，即 $\Delta R_{wb} \cdot \Delta t_{wb} = \boldsymbol{\delta}_{k} \cdot \boldsymbol{\delta}_{k+1} \cdot \dots \cdot \boldsymbol{\delta}_{j-1}$。

4. 利用矩阵指数运算，将每个增量矩阵 $\boldsymbol{\delta}_{i}$ 转化为对应的李代数形式，即 $\boldsymbol{\delta}_{i} = \begin{bmatrix}
\boldsymbol{\omega}_{i}^\wedge & \boldsymbol{v}_{i} \\
0_{3 \times 3} & 0
\end{bmatrix}$，其中 $\boldsymbol{\omega}_{i}^\wedge$ 是旋转向量 $\boldsymbol{\omega}_{i}$ 的反对称矩阵，$\boldsymbol{v}_{i}$ 是平移向量 $\boldsymbol{t}_{i}$。

5. 将所有的李代数相加，即 $\boldsymbol{\delta}_{k} \oplus \boldsymbol{\delta}_{k+1} \oplus \dots \oplus \boldsymbol{\delta}_{j-1} = \begin{bmatrix}
\boldsymbol{\omega}^\wedge & \boldsymbol{v} \\
0_{3 \times 3} & 0
\end{bmatrix}$。

6. 利用矩阵指数运算，将李代数形式的增量矩阵转化为对应的变换矩阵，即 $\begin{bmatrix}
\boldsymbol{\omega}^\wedge & \boldsymbol{v} \\
0_{3 \times 3} & 0
\end{bmatrix} = \exp(\begin{bmatrix}
\boldsymbol{\omega}^\wedge & \boldsymbol{v} \\
0_{3 \times 3} & 0
\end{bmatrix})$。

7. 将变换矩阵拆分为旋转和平移部分，即 $\Delta R_{wb} = \exp(\boldsymbol{\omega}^\wedge)$ 和 $\Delta t_{wb} = \boldsymbol{v}$。