matlab解决某烟花厂,一天中发生着火现象的次数X是一个随机变量,假设 它服从以为参数的泊松分布,参数未知。现有以下样本值: 着火次数k 0 1 2 3 4 5 6 发生着火的天数 75 90 54 22 6 2 1 试求的极大似然估计值。
时间: 2024-03-07 12:53:56 浏览: 25
根据题目描述,假设着火现象的次数 $X$ 服从参数为 $\lambda$ 的泊松分布,参数未知。现有样本值如下:
| 着火次数 $k$ | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
| :----------: |:-:|:-:|:-:|:-:|:-:|:-:|:-:|
| 发生着火的天数 | 75 | 90 | 54 | 22 | 6 | 2 | 1 |
求参数 $\lambda$ 的极大似然估计值。
泊松分布的概率质量函数为:
$$P(X=k)=\frac{\lambda^ke^{-\lambda}}{k!},\ k=0,1,2,\cdots$$
样本中的每一个观测值都是独立的,因此似然函数为:
$$L(\lambda)=\prod_{i=1}^{n}\frac{\lambda^{k_i}e^{-\lambda}}{k_i!}=\frac{\lambda^{\sum_{i=1}^{n}k_i}e^{-n\lambda}}{\prod_{i=1}^{n}k_i!}$$
对似然函数取对数,得到对数似然函数:
$$\ln L(\lambda)=\left(\sum_{i=1}^{n}k_i\right)\ln\lambda-n\lambda-\sum_{i=1}^{n}\ln k_i!$$
为了求得极大似然估计值,需要对对数似然函数求导数,并令导数等于零,解得:
$$\hat{\lambda}_{\text{MLE}}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}k_i$$
代入样本数据可得:
$$\hat{\lambda}_{\text{MLE}}=\frac{1}{252}(0\times75+1\times90+2\times54+3\times22+4\times6+5\times2+6\times1)\approx1.34$$
因此,参数 $\lambda$ 的极大似然估计值为 $\hat{\lambda}_{\text{MLE}}=1.34$。
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