设平面的方程为 $ax + by + cz + d = 0$，椭圆抛物面的方程为x^2/a^2 +y^2/b^2 =2z，求平面和椭圆抛物面的交线的参数方程

将平面的方程代入椭圆抛物面的方程中，得到：

$$\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 2\left(-\frac{d}{c}\right)$$

令 $k = -\frac{d}{c}$，则上式变为：

$$\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 2k$$

将 $z$ 用 $x$ 和 $y$ 表示，代入平面的方程中，得到：

$$z = -\frac{a}{c}x - \frac{b}{c}y - \frac{d}{c}$$

将上式代入椭圆抛物面的方程中，得到：

$$\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 2\left(-\frac{a}{c}x - \frac{b}{c}y - \frac{d}{c}\right)$$

化简可得：

$$cx^2 + cy^2 + 2dxy + 2akcx + 2bkcy + a^2k^2 + b^2k^2 = 0$$

令 $A = c$，$B = d$，$C = a^2k^2 + b^2k^2$，$D = 2akc$，$E = 2bkc$，则上式变为：

$$Ax^2 + Bxy + Cy^2 + Dx + Ey = 0$$

这是一个二次曲线的一般式，可以用矩阵的方法求解。令 $\mathbf{x} = (x, y, 1)$，$\mathbf{A} = \begin{pmatrix} A & \frac{B}{2} & 0 \\ \frac{B}{2} & C & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$，则上式可表示为 $\mathbf{x}^\mathrm{T} \mathbf{A} \mathbf{x} = 0$。

对 $\mathbf{A}$ 进行对角化，得到 $\mathbf{A} = \mathbf{P} \mathbf{D} \mathbf{P}^\mathrm{T}$，其中 $\mathbf{D}$ 是 $\mathbf{A}$ 的特征值构成的对角矩阵，$\mathbf{P}$ 是 $\mathbf{A}$ 的特征向量构成的正交矩阵。令 $\mathbf{y} = \mathbf{P}^\mathrm{T} \mathbf{x}$，则 $\mathbf{x} = \mathbf{P} \mathbf{y}$，且 $\mathbf{x}^\mathrm{T} \mathbf{A} \mathbf{x} = \mathbf{y}^\mathrm{T} \mathbf{D} \mathbf{y}$。因此，原方程可以化为 $\mathbf{y}^\mathrm{T} \mathbf{D} \mathbf{y} = 0$。

设 $\lambda_1$ 和 $\lambda_2$ 分别为 $\mathbf{A}$ 的两个非零特征值，则 $\mathbf{D} = \mathrm{diag}(\lambda_1, \lambda_2, 0)$，且 $\lambda_1 \lambda_2 = AC - \frac{B^2}{4}$。特征向量为 $\mathbf{v}_1 = (v_{11}, v_{12}, 0)$ 和 $\mathbf{v}_2 = (v_{21}, v_{22}, 0)$，其中 $\mathbf{v}_1$ 和 $\mathbf{v}_2$ 是单位向量。因此，$\mathbf{P} = \begin{pmatrix} v_{11} & v_{21} & 0 \\ v_{12} & v_{22} & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$。

令 $\mathbf{y} = (u, v, 1)$，则 $\mathbf{x} = \begin{pmatrix} v_{11} & v_{21} & 0 \\ v_{12} & v_{22} & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} u \\ v \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} v_{11} u + v_{21} v \\ v_{12} u + v_{22} v \\ 1 \end{pmatrix}$。因此，交线的参数方程为：

$$\begin{cases} x = v_{11} u + v_{21} v \\ y = v_{12} u + v_{22} v \\ z = -\frac{a}{c} (v_{11} u + v_{21} v) - \frac{b}{c} (v_{12} u + v_{22} v) - k \end{cases}$$