基于FFT的图像平移与旋转Matlab实验

首先，我们需要了解一下FFT的原理。FFT是快速傅里叶变换的缩写，它是一种将信号从时域转换到频域的方法。在图像处理中，我们可以将图像看作是一个二维的信号，因此我们可以利用FFT来对图像进行平移和旋转。

对于图像平移，我们可以利用卷积定理来实现。具体步骤如下：

1. 将原始图像进行二维FFT变换，得到频域图像。

2. 构造一个平移核，即一个二维的矩阵，其中心点为1，其余点为0。平移核的大小应该与原始图像相同。

3. 对于要平移的距离dx和dy，我们可以将平移核沿着x轴和y轴分别平移dx和dy个像素。

4. 将平移核进行二维FFT变换，得到频域平移核。

5. 将频域图像和频域平移核进行点乘得到平移后的频域图像。

6. 对平移后的频域图像进行逆FFT变换，得到平移后的图像。

Matlab代码如下：

% 原始图像
I = imread('lena.png');
I = im2double(I);

% 平移距离
dx = 30;
dy = -20;

% 二维FFT变换
F = fft2(I);

% 构造平移核
[M, N] = size(I);
H = zeros(M, N);
H(round(M/2+dy), round(N/2+dx)) = 1;

% 平移核的二维FFT变换
H_f = fft2(H);

% 频域图像和频域平移核进行点乘
G = F .* H_f;

% 逆FFT变换
J = ifft2(G);

% 显示结果
subplot(1,2,1), imshow(I), title('原始图像');
subplot(1,2,2), imshow(J), title('平移后的图像');

对于图像旋转，我们可以利用旋转定理来实现。具体步骤如下：

1. 将原始图像进行二维FFT变换，得到频域图像。

2. 构造一个旋转核，即一个二维的矩阵，其中每个元素的值为其在频域中对应的坐标点的旋转角度。

3. 对于要旋转的角度theta，我们可以将旋转核按照顺时针方向旋转theta度。

4. 将旋转核进行二维FFT变换，得到频域旋转核。

5. 将频域图像和频域旋转核进行点乘得到旋转后的频域图像。

6. 对旋转后的频域图像进行逆FFT变换，得到旋转后的图像。

Matlab代码如下：

% 原始图像
I = imread('lena.png');
I = im2double(I);

% 旋转角度
theta = 30;

% 二维FFT变换
F = fftshift(fft2(I));

% 构造旋转核
[M, N] = size(I);
u = 0:(M-1);
v = 0:(N-1);
idx = find(u>M/2);
u(idx) = u(idx) - M;
idy = find(v>N/2);
v(idy) = v(idy) - N;
[V,U] = meshgrid(v,u);
D = sqrt(U.^2 + V.^2);
R = exp(1i*theta*pi/180*D);

% 频域图像和频域旋转核进行点乘
G = F .* R;

% 逆FFT变换
J = ifft2(ifftshift(G));

% 显示结果
subplot(1,2,1), imshow(I), title('原始图像');
subplot(1,2,2), imshow(abs(J)), title('旋转后的图像');

需要注意的是，由于旋转后的图像可能会出现平移，因此在旋转后需要进行平移校正，可以参考上面的平移代码进行校正。