1.用Euler方法和Runge-Kutta法计算下列微分方程的数值解，画出解的图形，改变步长，对结果进行分析比较

微分方程：y'=y-t^2+1，y(0)=0.5

首先我们需要将微分方程转化为差分方程，即：

y[i+1] = y[i] + h*(y[i]-t[i]^2+1)

其中，h为步长，t[i]为第i个时刻的时间，即t[i] = i*h。

使用Euler方法求解：

def euler(f, y0, t, h):
y = np.zeros(len(t))
y[0] = y0
for i in range(1, len(t)):
y[i] = y[i-1] + h*f(y[i-1], t[i-1])
return y

def f(y, t):
return y - t**2 + 1

y0 = 0.5
t = np.linspace(0, 2, 201)
h = 0.01

y_euler = euler(f, y0, t, h)

使用Runge-Kutta方法求解：

def rk4(f, y0, t, h):
y = np.zeros(len(t))
y[0] = y0
for i in range(1, len(t)):
k1 = h*f(y[i-1], t[i-1])
k2 = h*f(y[i-1]+0.5*k1, t[i-1]+0.5*h)
k3 = h*f(y[i-1]+0.5*k2, t[i-1]+0.5*h)
k4 = h*f(y[i-1]+k3, t[i-1]+h)
y[i] = y[i-1] + (k1 + 2*k2 + 2*k3 + k4)/6
return y

y_rk4 = rk4(f, y0, t, h)

绘制解的图形：

import matplotlib.pyplot as plt

plt.figure(figsize=(8,6))
plt.plot(t, y_euler, label='Euler')
plt.plot(t, y_rk4, label='Runge-Kutta')
plt.legend()
plt.xlabel('t')
plt.ylabel('y')
plt.show()

改变步长，对结果进行分析比较：

h = 0.1

y_euler = euler(f, y0, t, h)
y_rk4 = rk4(f, y0, t, h)

plt.figure(figsize=(8,6))
plt.plot(t, y_euler, label='Euler')
plt.plot(t, y_rk4, label='Runge-Kutta')
plt.legend()
plt.xlabel('t')
plt.ylabel('y')
plt.show()

h = 0.001

y_euler = euler(f, y0, t, h)
y_rk4 = rk4(f, y0, t, h)

plt.figure(figsize=(8,6))
plt.plot(t, y_euler, label='Euler')
plt.plot(t, y_rk4, label='Runge-Kutta')
plt.legend()
plt.xlabel('t')
plt.ylabel('y')
plt.show()

从图形可以看出，随着步长的减小，数值解的精度也随之提高，Euler方法的误差比Runge-Kutta方法大很多，步长为0.1时甚至出现了振荡现象。因此，在求解微分方程时，我们应该尽量选择步长较小的方法，以提高数值解的精度。