SOR法解方程组的收敛性

SOR (Successive Over-Relaxation) 方法是迭代法的一种，用于求解线性方程组。它是 Jacobi 方法的一种改进，通过引入松弛因子 w 加速收敛。

对于系数矩阵 A 严格对角占优，即对于所有 i，有 $|a_{ii}|> \sum_{j=1,j\neq i}^{n} |a_{ij}|$，SOR 方法具有收敛性。收敛速度取决于松弛因子 w 的选择和系数矩阵 A 的特性。通常情况下，选择适当的 w 值可以加快收敛速度，但是如果选择的 w 值不合适，可能会导致算法不收敛。

如果系数矩阵 A 不满足严格对角占优条件，SOR 方法可能会发散。在这种情况下，可以考虑使用更稳定的迭代方法，比如 Gauss-Seidel 方法或者全选主元高斯消元方法。

相关问题

分析用SOR法解一个方程组的收敛性，请举一个例子

SOR（Successive Over-Relaxation）法通常用于解线性方程组。其基本思想是在迭代过程中加速收敛，可以通过引入松弛因子来实现。具体来说，给定一个线性方程组Ax=b，SOR方法的迭代公式为：

$$x_i^{(k+1)}=(1-\omega)x_i^{(k)}+\frac{\omega}{a_{ii}}\left(b_i-\sum_{j<i}a_{ij}x_j^{(k+1)}-\sum_{j>i}a_{ij}x_j^{(k)}\right)$$

其中，$x_i^{(k)}$表示第i个变量在第k次迭代中的解，$\omega$是松弛因子，$a_{ii}$是系数矩阵A的第i行第i列元素。

SOR方法的收敛性与松弛因子$\omega$有关。具体来说，当$\omega$取值在(0,2)之间时，SOR方法才能保证收敛。并且，当$\omega$的取值越接近1时，收敛速度越快。

以下是一个简单的例子，使用SOR方法求解线性方程组：

$$\begin{cases}2x_1-x_2+2x_3=1\\-x_1+2x_2+x_3=2\\2x_1+x_2+3x_3=5\end{cases}$$

其中，初始解为$x^{(0)}=(0,0,0)$，松弛因子取$\omega=1.3$。

根据迭代公式，我们可以依次计算出$x_1^{(1)},x_2^{(1)},x_3^{(1)}$，然后计算出$x_1^{(2)},x_2^{(2)},x_3^{(2)}$，以此类推，直到满足收敛条件为止。具体迭代过程如下：

$$\begin{aligned} x_1^{(1)}&=(1-1.3\times2/2)(0)+1.3/2(1+0-2)=0.65\\ x_2^{(1)}&=(1-1.3\times2/2)(0)+1.3/2(0+0-3)=0.975\\ x_3^{(1)}&=(1-1.3\times2/3)(0)+1.3/3(0-0-0)=0 \end{aligned}$$

$$\begin{aligned} x_1^{(2)}&=(1-1.3\times2/2)(0.65)+1.3/2(1-0.975-2)=1.1125\\ x_2^{(2)}&=(1-1.3\times2/2)(0.975)+1.3/2(0.65+0-3)=1.4775\\ x_3^{(2)}&=(1-1.3\times2/3)(0)+1.3/3(0.65-1.1125-0)=0.0608 \end{aligned}$$

$$\begin{aligned} x_1^{(3)}&=(1-1.3\times2/2)(1.1125)+1.3/2(1-1.4775-2)=1.4583\\ x_2^{(3)}&=(1-1.3\times2/2)(1.4775)+1.3/2(1.1125+0-3)=1.6375\\ x_3^{(3)}&=(1-1.3\times2/3)(0.0608)+1.3/3(1.1125-1.4583-0.0608)=0.1633 \end{aligned}$$

继续迭代下去，直到满足收敛条件。

使用Eigen和c++写一个sor迭代法解线性方程组的函数

Sor迭代法，即Successive Over-Relaxation（逐次超松弛）迭代法，是一种用于求解线性方程组的迭代技术。在使用Eigen库和C++编写Sor迭代法函数时，首先需要包含Eigen库的头文件，并定义一个函数来实现Sor迭代。下面是一个简单的Sor迭代函数实现示例：

#include <iostream>
#include <Eigen/Dense>

// 使用Eigen库解线性方程组的Sor迭代法函数
Eigen::VectorXd sor(const Eigen::MatrixXd& A, const Eigen::VectorXd& b, double w, int max_iter, double tol) {
    int n = A.rows(); // 获取方程组的大小
    Eigen::VectorXd x(n), x_new(n), r(n), d(n);
    x.setZero(); // 初始化解向量x为零向量
    double norm;

    for (int i = 0; i < max_iter; ++i) {
        // 计算残差
        r = b - A * x;
        norm = r.norm(); // 计算残差的范数

        if (norm < tol) { // 检查是否达到所需的精度
            break;
        }

        // SOR迭代公式计算新的解向量x_new
        for (int j = 0; j < n; ++j) {
            // 计算搜索方向d
            d(j) = x(j) + w * (A.col(j).dot(r) - A(j, j) * x(j)) / A(j, j);
            // 更新解向量x_new
            x_new(j) = w * d(j) + (1 - w) * x(j);
        }

        x = x_new; // 更新解向量x
    }

    return x;
}

int main() {
    // 定义系数矩阵A和常数向量b
    Eigen::MatrixXd A(3, 3);
    Eigen::VectorXd b(3);

    // 填充矩阵A和向量b的值
    A << 4, -1, 0, -1, 4, -1, 0, -1, 3;
    b << 5, -2, 8;

    // SOR迭代参数
    double w = 1.25; // 松弛因子
    int max_iter = 100; // 最大迭代次数
    double tol = 1e-8; // 收敛容忍度

    // 调用Sor函数求解线性方程组
    Eigen::VectorXd x = sor(A, b, w, max_iter, tol);

    // 输出解向量
    std::cout << "解向量:\n" << x << std::endl;

    return 0;
}

请注意，上述代码中的松弛因子`w`需要根据具体的线性方程组来选择合适的值。松弛因子的取值范围通常在(1, 2)之间，不同的`w`值会影响迭代的收敛速度和稳定性。