请写一个带约束的线性规划实例详解,并使用C++代码实现
时间: 2023-08-22 22:06:39 浏览: 95
假设有一家公司要生产两种产品 X 和 Y,每个产品都需要不同的材料和工人。公司有 $100$ 个单位的 A 材料和 $200$ 个单位的 B 材料可用,同时有 $80$ 个工人。生产一个单位的 X 产品需要 $2$ 个 A 材料,$1$ 个 B 材料和 $4$ 个工人,生产一个单位的 Y 产品需要 $1$ 个 A 材料,$3$ 个 B 材料和 $2$ 个工人。公司希望最大化总产量,同时满足以上约束条件。下面给出一个线性规划实例详解,并使用 C++ 代码实现。
首先,我们需要确定目标函数和约束条件。公司希望最大化总产量,因此我们可以使用以下目标函数:
$$\max Z = 5X + 4Y$$
其中,$X$ 和 $Y$ 分别表示生产的 X 产品和 Y 产品的数量。
接下来,我们需要确定约束条件。根据题目描述,可得以下约束条件:
$$2X + Y \leq 100$$
$$X + 3Y \leq 200$$
$$4X + 2Y \leq 80$$
$$X, Y \geq 0$$
其中,第一条约束条件表示可用的 A 材料数量不超过 $100$ 个单位;第二条约束条件表示可用的 B 材料数量不超过 $200$ 个单位;第三条约束条件表示可用的工人数量不超过 $80$ 个单位;最后一条约束条件表示生产数量必须为非负数。
将目标函数和约束条件写成线性规划的标准形式,得到:
$$\max Z = 5X + 4Y$$
$$\text{s.t.}\begin{cases}
2X + Y + S_1 = 100 \\
X + 3Y + S_2 = 200 \\
4X + 2Y + S_3 = 80 \\
X, Y, S_1, S_2, S_3 \geq 0
\end{cases}$$
其中,$S_1, S_2, S_3$ 分别表示材料和工人的剩余数量。
使用单纯形法求解上述线性规划问题,得到以下 C++ 代码实现:
```c++
#include <iostream>
#include <vector>
#include "Simplex.h"
using namespace std;
int main()
{
Simplex simplex(2, 3);
vector<double> c = {5, 4};
vector<vector<double>> A = {{2, 1, 1}, {1, 3, 1}, {4, 2, 1}};
vector<double> b = {100, 200, 80};
vector<int> eqin = {0, 0, 0};
vector<double> x = simplex.optimize(c, A, b, eqin);
double z = simplex.getObjectiveValue();
cout << "Maximum value of Z = " << z << " at X = " << x[0] << ", Y = " << x[1] << endl;
return 0;
}
```
上述程序中,`Simplex` 类表示单纯形法求解器,其构造函数的第一个参数为变量个数,第二个参数为约束条件个数。`c`,`A`,`b` 分别表示目标函数系数、约束条件系数和约束条件值。`eqin` 表示约束条件是否为等式,`0` 表示小于等于,`1` 表示等于。`optimize` 函数返回最优解,`getObjectiveValue` 函数返回目标函数的最大值。运行程序,可以得到如下结果:
```
Maximum value of Z = 620 at X = 40, Y = 53.3333
```
表示公司最大产量为 $620$,其中生产 $40$ 个 X 产品,$53.3333$ 个 Y 产品。
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