给出基于最小二乘法计算多元线性回归模型的参数过程

假设有 $m$ 个自变量 $x_1,x_2,\cdots,x_m$，以及 $n$ 个观测值 $(x_{1i},x_{2i},\cdots,x_{mi},y_i)$，其中 $i=1,2,\cdots,n$。多元线性回归模型可以表示为：

$$y=\beta_1x_1+\beta_2x_2+\cdots+\beta_mx_m+\epsilon$$

其中，$\beta_1,\beta_2,\cdots,\beta_m$ 是回归系数，$\epsilon$ 是误差项。通过最小二乘法来求解回归系数，需要以下步骤：

1. 将多元线性回归模型转化为矩阵形式，即：

$$Y=X\beta+\epsilon$$

其中，$Y$ 是 $n\times1$ 的因变量向量，$X$ 是 $n\times(m+1)$ 的设计矩阵，将 $x_1,x_2,\cdots,x_m$ 以及常数项 $1$ 组成一个 $(m+1)\times1$ 的自变量向量，$X$ 的每一行对应一个观测值，$\beta$ 是 $(m+1)\times1$ 的回归系数向量，$\epsilon$ 是 $n\times1$ 的误差向量。

2. 求解回归系数 $\beta$，使得误差平方和最小化，即：

$$\hat{\beta}=\arg\min_{\beta}(Y-X\beta)^T(Y-X\beta)$$

3. 对 $\hat{\beta}$ 进行假设检验，判断回归系数是否显著。可以计算出每个回归系数的标准误、置信区间和假设检验的 $t$ 统计量，判断回归系数是否显著。

4. 对整个回归模型进行假设检验，判断模型的拟合是否显著。可以计算出回归平方和、总平方和和残差平方和，进而计算出回归平方和占总平方和的比例 $R^2$，判断模型的拟合优度。

其中，步骤 2 可以通过对 $\hat{\beta}$ 求导并令导数等于 $0$，解出 $\hat{\beta}$ 的闭式解，即：

$$\hat{\beta}=(X^TX)^{-1}X^TY$$

其中，$(X^TX)^{-1}$ 表示 $X^TX$ 的逆矩阵。这个公式被称为正规方程式。通过正规方程式求解回归系数的时间复杂度为 $O(m^3+n)$。当 $m$ 很大时，可以使用梯度下降等迭代算法来求解回归系数，时间复杂度为 $O(kmn)$，其中 $k$ 是迭代次数。