矩阵的迹是线性的还是凸的

矩阵的迹是线性的，即对于任意两个矩阵 $A$ 和 $B$，以及任意标量 $c$，有 $\operatorname{tr}(cA+B) = c\operatorname{tr}(A) + \operatorname{tr}(B)$。这个性质可以通过迹的定义和矩阵运算的分配律来证明。

迹的凸性质需要明确什么意思。如果是指对于任意两个矩阵 $A$ 和 $B$，以及任意 $0\leq \lambda \leq 1$，有 $\operatorname{tr}(\lambda A + (1-\lambda)B) \leq \lambda \operatorname{tr}(A) + (1-\lambda)\operatorname{tr}(B)$，即迹在凸组合下是凸函数，那么这个性质是不成立的。事实上，可以通过构造简单的矩阵 $A$ 和 $B$，来证明这个不等式不成立。例如，取 $A=\begin{bmatrix}1&0\\0&0\end{bmatrix}$ 和 $B=\begin{bmatrix}0&0\\0&1\end{bmatrix}$，则 $\operatorname{tr}(A)=1$，$\operatorname{tr}(B)=1$，但 $\operatorname{tr}(\frac{1}{2}A+\frac{1}{2}B) = 0.5 \neq 1 = \frac{1}{2}\operatorname{tr}(A) + \frac{1}{2}\operatorname{tr}(B)$。