矩阵的迹是凸函数还是凹函数

矩阵的迹是线性函数，因此既不是凸函数也不是凹函数。

对于任意矩阵 $A, B$ 和任意标量 $\lambda \in [0,1]$，有以下性质：

- $\operatorname{tr}(\lambda A + (1-\lambda) B) = \lambda \operatorname{tr}(A) + (1-\lambda) \operatorname{tr}(B)$，即迹是线性函数。
- 对于 $n \times n$ 矩阵 $A$，有 $\operatorname{tr}(A) = \operatorname{tr}(A^T)$，即迹不随转置改变。

因此，迹不满足凸函数的定义，也不满足凹函数的定义。

相关问题

对于矩阵X，σ(X)是矩阵X的奇异值向量，那么若X是对称矩阵，σ(X)是凸函数还是凹函数，若X是一般矩阵，σ(X)是凸函数还是凹函数，为什么？

对于矩阵 $X$，若 $X$ 是对称矩阵，则 $\sigma(X)$ 是凸函数；若 $X$ 是一般矩阵，则 $\sigma(X)$ 不是凸函数。

当 $X$ 是对称矩阵时，根据谱定理，$X$ 可以被对角化为 $Q\Lambda Q^\top$ 的形式，其中 $Q$ 是正交矩阵，$\Lambda$ 是对角矩阵，且对角线上的元素为 $X$ 的特征值。由于 $X$ 是对称矩阵，因此其特征值都是实数，且 $X$ 的奇异值等于其特征值的绝对值。因此，$\sigma(X)$ 可以看做是 $\Lambda$ 的对角线上元素的绝对值之和，即 $\sigma(X) = \sum_{i=1}^n |\lambda_i|$。对于任意 $t \in [0,1]$ 和对称矩阵 $X_1, X_2$，设其特征值对应的绝对值分别为 $\{|\lambda_i^{(1)}|\}$ 和 $\{|\lambda_i^{(2)}|\}$，则
$$
\begin{aligned}
\sigma(tX_1+(1-t)X_2)
&= \sum_{i=1}^n |\lambda_i^{(tX_1+(1-t)X_2)}| \\
&= \sum_{i=1}^n |t\lambda_i^{(X_1)}+(1-t)\lambda_i^{(X_2)}| \\
&\leq t\sum_{i=1}^n |\lambda_i^{(X_1)}|+(1-t)\sum_{i=1}^n |\lambda_i^{(X_2)}| \\
&= t\sigma(X_1)+(1-t)\sigma(X_2).
\end{aligned}
$$
因此，$\sigma(X)$ 是凸函数。

当 $X$ 是一般矩阵时，$\sigma(X)$ 不是凸函数。可以考虑二阶范数的情况，即 $f(X) = \|\sigma(X)\|_2^2 = \sum_{i=1}^n \sigma_i^2(X)$。对于任意 $t \in [0,1]$ 和矩阵 $X_1, X_2$，设其奇异值分别为 $\{\sigma_i^{(1)}\}$ 和 $\{\sigma_i^{(2)}\}$，则
$$
\begin{aligned}
f(tX_1+(1-t)X_2)
&= \sum_{i=1}^n \sigma_i^2(tX_1+(1-t)X_2) \\
&= \sum_{i=1}^n \sigma_i^2(tU_1\Sigma_1V_1^\top+(1-t)U_2\Sigma_2V_2^\top) \\
&= \sum_{i=1}^n (t\sigma_i^{(1)}+(1-t)\sigma_i^{(2)})^2,
\end{aligned}
$$
其中 $X_1 = U_1\Sigma_1V_1^\top$，$X_2 = U_2\Sigma_2V_2^\top$ 是 $X_1, X_2$ 的奇异值分解。取 $X_1 = \begin{bmatrix}1&0\\0&0\end{bmatrix}$，$X_2 = \begin{bmatrix}0&0\\0&1\end{bmatrix}$，则 $f(X_1) = f(X_2) = 1$，但是
$$
f\left(\frac{1}{2}X_1+\frac{1}{2}X_2\right) = \sum_{i=1}^2\left(\frac{1}{2}\sigma_i^{(1)}+\frac{1}{2}\sigma_i^{(2)}\right)^2 = \frac{1}{2},
$$
因此 $f(X)$ 不满足 Jensen 不等式，即 $f(X)$ 不是凸函数。

对于x是标量，向量或者矩阵，G(x)是矩阵输出函数，σ(G(x))是矩阵G(x)的奇异值向量来说，在h(x)是x处的凹函数，G(x)是一个对称矩阵的条件下，复合函数h(σ(G(x)))是G(x)处的凸函数还是凹函数，为什么？

复合函数h(σ(G(x)))在G(x)处是凸函数。

首先，根据矩阵奇异值分解的定义，矩阵G(x)是一个对称矩阵，因此它的奇异值向量σ(G(x))是一个实数非负向量。同时，由于G(x)是对称矩阵，它可以被对角化，即存在一个正交矩阵P，使得G(x) = PΛP^T，其中Λ是对角矩阵，对角线上的元素就是矩阵G(x)的奇异值。

现在考虑复合函数h(σ(G(x)))在G(x)处的凸性质。根据复合函数的链式法则，它的一阶导数为：

h'(σ(G(x))) * G'(x)

其中G'(x)是矩阵G(x)关于x的导数。由于G(x)是对称矩阵，因此它的导数也是对称矩阵，即G'(x) = (G'(x))^T。又因为h(x)是凹函数，所以h'(σ(G(x)))是单调递减的，即h''(σ(G(x))) ≤ 0。

现在考虑复合函数h(σ(G(x)))在G(x)处的二阶导数，即：

h''(σ(G(x))) * G'(x) * (G'(x))^T + h'(σ(G(x))) * G''(x)

由于G(x)是对称矩阵，因此G''(x)也是对称矩阵。而由于G(x)是实对称矩阵，因此它可以被对角化为G(x) = PΛP^T，其中Λ是对角矩阵，对角线上的元素就是矩阵G(x)的特征值。因此，G''(x)也可以被对角化为G''(x) = PΛ''P^T，其中Λ''是对角矩阵，对角线上的元素就是矩阵G(x)的特征值的导数。

现在我们有：

h''(σ(G(x))) * G'(x) * (G'(x))^T + h'(σ(G(x))) * G''(x)

= h''(σ(G(x))) * PΛP^T * (PΛP^T)^T + h'(σ(G(x))) * PΛ''P^T

= h''(σ(G(x))) * PΛPP^TΛ^TP^T + h'(σ(G(x))) * PΛ''P^T

= P(h''(σ(G(x))) * Λ + h'(σ(G(x))) * Λ'' )P^T

由于h''(σ(G(x))) ≤ 0，因此上式右侧是一个半正定矩阵。由于P是正交矩阵，因此左侧也是一个半正定矩阵。因此，复合函数h(σ(G(x)))在G(x)处是凸函数。

综上所述，复合函数h(σ(G(x)))在G(x)处是凸函数。