矩阵的迹怎么变成凹函数

首先，我们需要明确迹（trace）的定义：对于一个 $n\times n$ 的矩阵 $A$，其迹定义为 $tr(A) = \sum_{i=1}^n a_{ii}$，即主对角线上元素之和。

接着，我们需要知道凸函数和凹函数的定义：

- 凸函数：若函数 $f(x)$ 满足对于任意 $x_1,x_2$，以及 $0\leq\lambda\leq 1$，都有 $f(\lambda x_1+(1-\lambda)x_2)\leq\lambda f(x_1)+(1-\lambda)f(x_2)$，则称 $f(x)$ 是凸函数。
- 凹函数：若函数 $f(x)$ 满足对于任意 $x_1,x_2$，以及 $0\leq\lambda\leq 1$，都有 $f(\lambda x_1+(1-\lambda)x_2)\geq\lambda f(x_1)+(1-\lambda)f(x_2)$，则称 $f(x)$ 是凹函数。

现在我们来证明迹是一个凹函数。

假设 $A$ 和 $B$ 分别是两个 $n\times n$ 的矩阵，$0\leq\lambda\leq 1$。我们需要证明：

$$tr(\lambda A+(1-\lambda)B)\geq\lambda tr(A)+(1-\lambda)tr(B)$$

根据迹的定义，我们可以得到：

$$tr(\lambda A+(1-\lambda)B) = \sum_{i=1}^n (\lambda a_{ii}+(1-\lambda)b_{ii})\geq \sum_{i=1}^n \lambda a_{ii}+\sum_{i=1}^n(1-\lambda)b_{ii}=\lambda tr(A)+(1-\lambda)tr(B)$$

因为 $\lambda$ 的取值范围是 $[0,1]$，所以 $\lambda+(1-\lambda)=1$。因此，我们可以得到：

$$tr(\lambda A+(1-\lambda)B) = \sum_{i=1}^n (\lambda a_{ii}+(1-\lambda)b_{ii})=\lambda\sum_{i=1}^n a_{ii}+(1-\lambda)\sum_{i=1}^n b_{ii}=\lambda tr(A)+(1-\lambda)tr(B)$$

因此，迹是一个凹函数。