举个例子说明f(x1,x2)是非凸非凹函数，那么f(x1,x2,x3)不一定是非凸非凹函数

假设$f(x_1,x_2) = x_1x_2$，则$f(x_1,x_2)$是非凸非凹函数。但是，如果我们定义$f(x_1,x_2,x_3) = x_1x_2x_3$，则$f(x_1,x_2,x_3)$是凸函数。这是因为对于任意的$a,b\in[0,1]$，$x_1,x_2,x_3\geq 0$，有：

$$
\begin{aligned}
&f(ax_1+(1-a)b,x_2,x_3) - af(x_1,x_2,x_3) - (1-a)f(b,x_2,x_3)\\
=&(ax_1+(1-a)b)x_2x_3 - ax_1x_2x_3 - (1-a)bx_2x_3\\
=&a(1-a)(x_1-x_2)(x_2-x_3)\geq 0
\end{aligned}
$$

因此，$f(x_1,x_2,x_3)$是凸函数，不是非凸非凹函数。

相关问题

凸函数和凹函数分别是什么

在微积分中，凸函数和凹函数是描述函数曲线弯曲程度的概念。一个函数f(x)在定义域I上是凸函数，当且仅当对于任意的x1, x2∈I和任意的t∈[0,1]，都有以下不等式成立：

f(tx1 + (1−t)x2) ≤ tf(x1) + (1−t)f(x2)

即函数曲线上任意两点的连线在函数曲线上方或在函数曲线上，也可以理解为函数曲线上的任意弦线均在函数曲线上方或在函数曲线上。如果上述不等式中的等号成立，则称该函数在I上是严格凸函数。

类似地，一个函数f(x)在定义域I上是凹函数，当且仅当对于任意的x1, x2∈I和任意的t∈[0,1]，都有以下不等式成立：

f(tx1 + (1−t)x2) ≥ tf(x1) + (1−t)f(x2)

即函数曲线上任意两点的连线在函数曲线下方或在函数曲线上，也可以理解为函数曲线上的任意弦线均在函数曲线下方或在函数曲线上。如果上述不等式中的等号成立，则称该函数在I上是严格凹函数。

矩阵的迹是凸函数还是凹函数

矩阵的迹是线性函数，因此既不是凸函数也不是凹函数。

对于任意矩阵 $A, B$ 和任意标量 $\lambda \in [0,1]$，有以下性质：

- $\operatorname{tr}(\lambda A + (1-\lambda) B) = \lambda \operatorname{tr}(A) + (1-\lambda) \operatorname{tr}(B)$，即迹是线性函数。
- 对于 $n \times n$ 矩阵 $A$，有 $\operatorname{tr}(A) = \operatorname{tr}(A^T)$，即迹不随转置改变。

因此，迹不满足凸函数的定义，也不满足凹函数的定义。