设f是凸集S⊆R^n上的凸函数。设k是一个非零标量;并定义g(x)=kf(x)。证明了如果k>0,则g是S上的凸函数;如果k<0,则g是S上的凹函数。
时间: 2023-05-11 21:03:02 浏览: 97
对于k>0的情况,我们需要证明对于任意的x,y∈S和任意的t∈[0,1],都有g(tx+(1-t)y)≤tg(x)+(1-t)g(y)。
由于f是凸函数,我们有f(tx+(1-t)y)≤tf(x)+(1-t)f(y)。将其乘以k,得到:
kf(tx+(1-t)y)≤tkf(x)+(1-t)kf(y)
即g(tx+(1-t)y)≤tg(x)+(1-t)g(y),因此g是S上的凸函数。
对于k<0的情况,我们需要证明对于任意的x,y∈S和任意的t∈[0,1],都有g(tx+(1-t)y)≥tg(x)+(1-t)g(y)。
由于f是凸函数,我们有f(tx+(1-t)y)≤tf(x)+(1-t)f(y)。将其乘以k,得到:
kf(tx+(1-t)y)≥tkf(x)+(1-t)kf(y)
即g(tx+(1-t)y)≥tg(x)+(1-t)g(y),因此g是S上的凹函数。
因此,我们证明了当k>0时,g是S上的凸函数;当k<0时,g是S上的凹函数。
相关问题
凸优化中:C为凸集,C=Ax+b,x属于S,证明S也是凸集
S也是凸集的证明如下:
假设存在x, y属于S,以及a满足0<=a<=1
由于x, y属于S,所以Ax b分别满足Ax b<=0
由于S是凸集,所以ax+ (1-a)y仍然属于S
因此,证明了S也是凸集。
怎样理解“线性回归的代价函数是一个凸函数”?什么是凸函数
一个函数如果满足以下条件,则称其为凸函数:
1. 函数定义域是一个凸集;
2. 对于定义域内的任意两个点,函数上的割线(即通过这两个点的直线)在这两个点之间的函数值不大于割线端点的函数值之和。
这个定义看起来有些抽象,但可以理解为:一个凸函数的图像是向上凸起的,也就是说,对于任意两个点,它们之间的连线上的点的函数值都不大于这两个点的函数值的平均值。
线性回归的代价函数是一个凸函数的意思是:对于一个给定的线性回归模型,它的代价函数是关于模型参数的一个二次函数,而二次函数是一个典型的凸函数。这个性质在优化算法中非常重要,因为它保证了优化算法能够找到代价函数的全局最小值,而不会被困在局部最小值中。