分别给出满足下列条件的凸集的例子：（1） 没有极点；（2）只有一个极点；（3）有无穷多个极点

### 回答1：
对于第一个问题：
（1）一个平面内没有极点的凸集例子可以是一个任意大小的圆形。

对于第二个问题：
（2）一个平面内只有一个极点的凸集例子可以是一个放置在极点上的圆锥形。

对于第三个问题：
（3）一个平面内有无穷多个极点的凸集例子可以是一条射线，其中发射点是极点，线的另一端在无穷远处。

### 回答2：
(1) 一个没有极点的凸集可以是全平面R²。因为对于任意两个点，我们可以通过直线连接它们，得到的直线上的点也都在该凸集内。

(2) 一个只有一个极点的凸集可以是一个封闭的圆盘D，其中圆心为该极点。这是因为任意两点连接线上的点也都在D内，但是该凸集的边界圆上的任何一点都不能通过直线连接到圆心之外的点。

(3) 一个有无穷多个极点的凸集可以是直线的无穷大闭区间[0, ∞]。这是因为任意两点连接线上的点也都在该区间内，而且无论如何延长区间都仍然是凸集。每个点都可以被看作是极点，因为不能通过直线连接到区间之外的点。

### 回答3：
(1) 一个没有极点的凸集的例子可以是一个封闭有界区间[0, 1]。在该区间内的任意两点连线上的点也都属于该凸集，因此没有极点。

(2) 一个只有一个极点的凸集的例子可以是包含原点的开半平面。例如，所有满足x>0的点构成的集合就是一个只有原点作为极点的凸集。

(3) 一个有无穷多个极点的凸集的例子可以是全体实数构成的集合R。对于任意两个点x和y，连接它们的线段上的点也都属于该凸集，因此该凸集有无穷多个极点。

相关问题

求证下面的集合为凸集：\{x\in\mathbb R^n_+|x_1x_2\ge\alpha\}

我们可以通过证明该集合的定义域为凸集来证明该集合本身也是凸集。设$x,y\in\{x\in\mathbb R^n_+|x_1x_2\ge\alpha\}$，则有$x_1x_2\ge\alpha$和$y_1y_2\ge\alpha$。对于任意$\lambda\in[0,1]$，我们有
$$(\lambda x_1+(1-\lambda)y_1)(\lambda x_2+(1-\lambda)y_2)=\lambda^2x_1x_2+\lambda(1-\lambda)(x_1y_2+x_2y_1)+(1-\lambda)^2y_1y_2$$
由于$x_1x_2\ge\alpha$和$y_1y_2\ge\alpha$，所以$\lambda^2x_1x_2\ge\lambda^2\alpha$和$(1-\lambda)^2y_1y_2\ge(1-\lambda)^2\alpha$。又因为$x_1y_2+x_2y_1\ge2\sqrt{x_1x_2y_1y_2}\ge2\alpha$，所以$\lambda(1-\lambda)(x_1y_2+x_2y_1)\ge2\lambda(1-\lambda)\alpha$。因此，
$$(\lambda x_1+(1-\lambda)y_1)(\lambda x_2+(1-\lambda)y_2)\ge\lambda^2\alpha+2\lambda(1-\lambda)\alpha+(1-\lambda)^2\alpha=\alpha$$
即$\lambda x+(1-\lambda)y\in\{x\in\mathbb R^n_+|x_1x_2\ge\alpha\}$，因此该集合为凸集。

为什么B={x | x ≥ 1}是凸集

### 回答1：
？谢谢！

B={x | x ≥ 1}是凸集，因为对于任意两个满足x1 ≥ 1和x2 ≥ 1的元素x1和x2，以及任意t∈[0,1]，都有tx1+(1-t)x2 ≥ 1。这是因为tx1+(1-t)x2 = t(x1-1)+(1-t)(x2-1)+1，而由于x1-1≥0，x2-1≥0，以及t∈[0,1]，所以tx1+(1-t)x2 ≥ 1。因此，B是凸集。

### 回答2：
B={x | x ≥ 1}是凸集的原因如下：

首先，根据定义，凸集是指集合中的任意两点的连线上的所有点也包含在该集合内。因此，我们需要证明对于任意满足x1≥1和x2≥1的两个点x1和x2，它们之间的连线上的所有点也都满足x≥1。

假设存在一个连线上的点x3，其满足x1≥1，x2≥1且x3<1。考虑点x3与x1的连线上的点x4，此时x4可以表示为x4 = λx1 + (1-λ)x3，其中0≤λ≤1。根据连线上的点的定义，x4也应满足x4≥1。

我们将x4代入上述等式，得到 x4 = λx1 + (1-λ)x3 ≥ λ(1) + (1-λ)(1) = 1，因此x4≥1。这意味着连线上的任意一个点都满足x≥1的条件。

因此，根据凸集的定义，我们可以得出结论，B={x | x ≥ 1}是一个凸集。

### 回答3：
首先，凸集的定义是对于集合中的任意两个元素，连接它们的线段上的所有点也属于该集合。

对于集合B={x | x ≥ 1}，我们取集合中任意两个元素x1和x2，并且x1≥1，x2≥1。

我们来看连接x1和x2的线段上的任意一点t，其中0≤t≤1。根据线性插值的定义，我们可以得到这样的等式：

t*x1 + (1-t)*x2

考虑到x1≥1，x2≥1，那么我们可以得到：

t*x1 + (1-t)*x2≥t*1 + (1-t)*1

进一步化简可以得到：

t*x1 + (1-t)*x2≥1

根据不等式定义，我们可以得出t*x1 + (1-t)*x2≥1对于任意0≤t≤1都成立。

结合上述过程，我们可以得出结论，连接集合中任意两个元素x1和x2的线段上的所有点t*x1 + (1-t)*x2≥1，也就是说这些点都属于集合B。

根据凸集的定义，我们可以看出集合B={x | x ≥ 1}满足凸集的条件，因此它是一个凸集。