给我举一个复数集合epi收敛的序列
时间: 2024-04-10 22:30:26 浏览: 13
设 $f_n:\mathbb{C}\rightarrow(-\infty,+\infty]$ 定义为 $f_n(z)=|z-n|$,则 $\operatorname{epi}(f_n)=\{(z,\alpha)\in\mathbb{C}\times\mathbb{R}\mid |z-n|\le\alpha\}$,是一个下半连续凸集。现在考虑序列 $\{f_n\}$,我们来看它的 epi 极限集合 $\operatorname{epi}(f)$:
对于任意 $(z,\alpha)\in\operatorname{epi}(f)$,都有 $|z|\le\alpha$,因此 $(z,\alpha)\in\operatorname{epi}(|\cdot|)$;
对于任意 $\epsilon>0$,存在 $n_0\in\mathbb{N}$,使得当 $n\ge n_0$ 时,$|n-z|\le\epsilon$。于是对于任意 $(z,\alpha)\in\operatorname{epi}(|\cdot|)$,存在 $(n,\alpha+\epsilon)\in\operatorname{epi}(f_n)$,使得
$$(z,\alpha)=(n,\alpha+\epsilon)+\underbrace{(z-n,-\epsilon)}_{\in\operatorname{epi}(f_{n_0})-\operatorname{epi}(f_n)}.$$
因此 $\operatorname{epi}(f_n)$ 对于 $n\in\mathbb{N}$ 逐点收敛到 $\operatorname{epi}(|\cdot|)$,即 $\{f_n\}$ 是一个 epi 收敛的序列。