那基于贝叶斯公式的条件概率计算，可以通过联合概率集合为凸集退出条件概率为凸集么

基于贝叶斯公式的条件概率计算可以通过联合概率集合为凸集来推出条件概率为凸集。

根据贝叶斯公式，我们有 $P(A|B) = \frac{P(B|A)P(A)}{P(B)}$。如果我们定义 $C = \{(A,B) | P(B) > 0\}$，也就是联合分布的非零概率集合，那么有：

$P(A|B) = \frac{P(B|A)P(A)}{P(B)} = \frac{P(A,B)}{P(B)}$

因此，$P(A|B)$ 可以看做是 $C$ 中的一个线性分式函数，即 $P(A|B) = \frac{P(A,B)}{P(B)}$。由于 $C$ 是联合分布的非零概率集合，因此 $C$ 是凸集。

如果我们能够证明 $P(A,B)$ 和 $P(B)$ 都是凸函数，那么 $P(A|B)$ 就是 $C$ 中的一个凸函数，因此 $P(A|B)$ 是一个凸集。因此，基于贝叶斯公式的条件概率计算可以通过联合概率集合为凸集来推出条件概率为凸集。

相关问题

求证下面的集合为凸集：\{x\in\mathbb R^n_+|x_1x_2\ge\alpha\}

我们可以通过证明该集合的定义域为凸集来证明该集合本身也是凸集。设$x,y\in\{x\in\mathbb R^n_+|x_1x_2\ge\alpha\}$，则有$x_1x_2\ge\alpha$和$y_1y_2\ge\alpha$。对于任意$\lambda\in[0,1]$，我们有
$$(\lambda x_1+(1-\lambda)y_1)(\lambda x_2+(1-\lambda)y_2)=\lambda^2x_1x_2+\lambda(1-\lambda)(x_1y_2+x_2y_1)+(1-\lambda)^2y_1y_2$$
由于$x_1x_2\ge\alpha$和$y_1y_2\ge\alpha$，所以$\lambda^2x_1x_2\ge\lambda^2\alpha$和$(1-\lambda)^2y_1y_2\ge(1-\lambda)^2\alpha$。又因为$x_1y_2+x_2y_1\ge2\sqrt{x_1x_2y_1y_2}\ge2\alpha$，所以$\lambda(1-\lambda)(x_1y_2+x_2y_1)\ge2\lambda(1-\lambda)\alpha$。因此，
$$(\lambda x_1+(1-\lambda)y_1)(\lambda x_2+(1-\lambda)y_2)\ge\lambda^2\alpha+2\lambda(1-\lambda)\alpha+(1-\lambda)^2\alpha=\alpha$$
即$\lambda x+(1-\lambda)y\in\{x\in\mathbb R^n_+|x_1x_2\ge\alpha\}$，因此该集合为凸集。

判断集合S={(x,y)│x-y^2≥0,y≥x^2 }是否为凸集。

根据定义，如果对于任意的点集S中的任意两个点(x1,y1)和(x2,y2)，线段上的所有点(x,y)也属于S，则集合S为凸集。

考虑集合S中的两点(x1,y1)和(x2,y2)并联一条线段L。则该线段上的所有点都可以表示为(x,y) = t(x1,y1) + (1-t)(x2,y2)，其中0≤t≤1。

对于x-y^2≥0,y≥x^2这两个不等式，它们都是下凸集。考虑将它们的交集求出来：

y≥x^2
y^2-x≥0

将上述式子化简后可得

x^4 - x ≥ 0

因此，S的形式为S = {(x,y)|x≥0,y≥x^2}，即向上开口的抛物线以下部分。

又因为对于任意的x1,x2≥0，t(x1,y1) + (1-t)(x2,y2)的第二个坐标y总是随着t的增大而增大，因此集合S为凸集。

因此，集合S是凸集。