matlab判断线性方程组是否为凸集 举例说明

判断一个线性方程组是否为凸集可以使用以下方法：

1. 根据定义，若对于任意两个解$x_1$和$x_2$以及$\lambda\in[0,1]$，有$\lambda x_1+(1-\lambda)x_2$也是该方程组的解，则该方程组是凸集。

2. 可以使用凸包的概念来判断。将该方程组的所有解表示为向量形式，如果这些向量的凸包包含原点，则该方程组是凸集。

举例说明：

考虑以下线性方程组：

$$
\begin{cases}
x_1+x_2=1\\
-x_1+x_2=0
\end{cases}
$$

将其写成矩阵向量形式为：

$$
\begin{pmatrix}
1 & 1\\
-1 & 1
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
x_1\\
x_2
\end{pmatrix}
=\begin{pmatrix}
1\\
0
\end{pmatrix}
$$

该方程组的解为$(x_1,x_2)=(\frac{1}{2},\frac{1}{2})$，因为$\lambda\in[0,1]$时，$\lambda(\frac{1}{2},\frac{1}{2})+(1-\lambda)(\frac{1}{2},\frac{1}{2})=(\frac{1}{2},\frac{1}{2})$仍然是该方程组的解，所以该方程组是凸集。

另外，将该方程组的解表示为向量形式为$(\frac{1}{2},\frac{1}{2})$和$(-\frac{1}{2},\frac{1}{2})$，它们的凸包包含原点，所以该方程组也是凸集。