凸函数和凹函数分别是什么

在微积分中，凸函数和凹函数是描述函数曲线弯曲程度的概念。一个函数f(x)在定义域I上是凸函数，当且仅当对于任意的x1, x2∈I和任意的t∈[0,1]，都有以下不等式成立：

f(tx1 + (1−t)x2) ≤ tf(x1) + (1−t)f(x2)

即函数曲线上任意两点的连线在函数曲线上方或在函数曲线上，也可以理解为函数曲线上的任意弦线均在函数曲线上方或在函数曲线上。如果上述不等式中的等号成立，则称该函数在I上是严格凸函数。

类似地，一个函数f(x)在定义域I上是凹函数，当且仅当对于任意的x1, x2∈I和任意的t∈[0,1]，都有以下不等式成立：

f(tx1 + (1−t)x2) ≥ tf(x1) + (1−t)f(x2)

即函数曲线上任意两点的连线在函数曲线下方或在函数曲线上，也可以理解为函数曲线上的任意弦线均在函数曲线下方或在函数曲线上。如果上述不等式中的等号成立，则称该函数在I上是严格凹函数。