凸优化复习：凸集、凸函数与凸规划要点

"最优化总复习PPT1涵盖了2021年6月28日的一场考试复习，包括凸集与凸函数、极点的定义、凸集分离定理、凸函数（凹函数）以及凸规划的概念和性质。特别强调了线性规划(LP)的标准形式，要求所有决策变量为非负值，且约束条件为等式，右侧系数也需为非负值。" 这篇复习材料主要涉及的是最优化理论，特别是凸优化的若干关键概念。首先，凸集是优化问题中常见的基础概念，它包含了一组点，满足任意两点之间线段都在该集合内。材料列举了几种典型的凸集，并指出两个凸集的交集仍然是凸集。极点是凸集中的一个重要点，如果一个点不能表示为其他点的凸组合，那么这个点就是极点。这对于理解和求解优化问题的结构至关重要。 接下来，凸集分离定理是凸分析中的核心定理之一，它允许我们通过超平面将凸集分开。Farkas定理和Gordan定理是证明分离定理的工具，对于解决实际问题有重要应用价值。这些定理的熟练掌握有助于解决各种凸优化问题。 凸函数是凸优化问题的核心，它们在几何上意味着函数的图像是下凸的。理解其定义、性质和判断方法是关键，因为凸函数的极小点对应于全局最小值，而不是局部最小值。在凸规划中，目标函数和约束函数都是凸函数，使得局部最优解即为全局最优解，这一特性简化了求解过程。 线性规划(LP)是凸优化的一个特例，标准形式包括极小化目标函数，等式约束，以及所有决策变量的非负性。这样的设定确保了问题的凸性，使得求解问题可以通过如单纯形法等算法高效地进行。 在准备考试时，考生需要能够证明或判断给定点是否属于凸集，判断函数的凸凹性，以及识别和解决凸规划问题。此外，对Farkas定理和Gordan定理的理解和应用也是必要的能力。