对于G(x)是一个矩阵输出函数，σ(G(x))是矩阵G(x)的奇异值向量，请解释：1.为什么在h(x)是x处的凹函数，G(x)是一个对称矩阵的条件下，h(σ(G(x)))是G(x)处的凹函数；2.为什么在h(x)是x处的凹函数，当x≥0时，h(x)的导数＜0，G(x)是一个任意矩阵的条件下，h(σ(G(x)))是G(x)处的凹函数；3.为什么在h(x)是x处的凹函数，当x≥0时，h(x)的导数≥0，G(x)是一个对称矩阵的条件下，h(σ(G(x)))是G(x)的转置乘以G(x)处的凹函数。

1. 当h(x)是x处的凹函数且G(x)是对称矩阵输出函数时，我们有以下性质：
由于G(x)是对称矩阵输出函数，因此G(x)的奇异值向量σ(G(x))是非负实数向量。
我们可以将G(x)表示为UΣV^T的形式，其中U和V是正交矩阵，Σ是一个对角矩阵，对角线上的元素是G(x)的奇异值。
因此，我们可以将σ(G(x))表示为Σ的对角线上的元素。
由于h(x)是x处的凹函数，因此对于任意实数t和s，有h((t+s)/2) ≥ (h(t)+h(s))/2。
因此，对于任意非负实数向量a和b，有h((a+b)/2) ≥ (h(a)+h(b))/2。
由于G(x)是对称矩阵，因此U和V是正交矩阵，因此我们可以将σ(G(x))表示为UΛV^TaVΛU^Tb，其中Λ是一个对角矩阵，a和b是非负实数向量。
因此，我们可以将h(σ(G(x)))表示为h(UΛ^(1/2)V^TxVΛ^(1/2)U^T)，其中Λ^(1/2)表示Λ的平方根。
由于h(x)是x处的凹函数，因此h(UΛ^(1/2)V^TxVΛ^(1/2)U^T)是UΛ^(1/2)V^Tσ(G(x))VΛ^(1/2)U^T处的凹函数，即h(σ(G(x)))是G(x)处的凹函数。

2. 当h(x)是x处的凹函数且x≥0时，h(x)的导数＜0，G(x)是任意矩阵输出函数时，我们有以下性质：
由于G(x)是任意矩阵输出函数，因此G(x)的奇异值向量σ(G(x))是非负实数向量。
我们可以将G(x)表示为UΣV^T的形式，其中U和V是正交矩阵，Σ是一个对角矩阵，对角线上的元素是G(x)的奇异值。
因此，我们可以将σ(G(x))表示为Σ的对角线上的元素。
由于h(x)是x处的凹函数且x≥0时，h(x)的导数＜0，因此对于任意非负实数向量a和b，有h((a+b)/2) ≥ (h(a)+h(b))/2。
由于G(x)的奇异值向量σ(G(x))是非负实数向量，因此我们可以将h(σ(G(x)))表示为h(Σ^(1/2)xΣ^(1/2))，其中Σ^(1/2)表示Σ的平方根。
由于Σ^(1/2)是半正定矩阵，因此Σ^(1/2)xΣ^(1/2)是半正定矩阵，其所有特征值都大于等于0。
因此，h(Σ^(1/2)xΣ^(1/2))是G(x)处的凹函数，即h(σ(G(x)))是G(x)处的凹函数。

3. 当h(x)是x处的凹函数且x≥0时，h(x)的导数≥0，G(x)是对称矩阵输出函数时，我们有以下性质：
由于G(x)是对称矩阵输出函数，因此G(x)的奇异值向量σ(G(x))是非负实数向量。
我们可以将G(x)表示为UΛU^T的形式，其中U是一个正交矩阵，Λ是一个对角矩阵，对角线上的元素是G(x)的特征值。
因此，我们可以将σ(G(x))表示为Λ的对角线上的元素。
由于h(x)是x处的凹函数且x≥0时，h(x)的导数≥0，因此对于任意非负实数向量a和b，有h((a+b)/2) ≥ (h(a)+h(b))/2。
由于G(x)是对称矩阵，因此我们可以将σ(G(x))表示为UΛ^(1/2)V^TxVΛ^(1/2)U^T，其中Λ^(1/2)表示Λ的平方根，V是一个正交矩阵。
因此，我们可以将h(σ(G(x)))表示为h(UΛ^(1/2)V^TxVΛ^(1/2)U^T)。
由于h(x)是x处的凹函数且x≥0时，h(x)的导数≥0，因此h(UΛ^(1/2)V^TxVΛ^(1/2)U^T)是UΛ^(1/2)V^TxΛ^(1/2)VU^T的转置乘以UΛ^(1/2)V^TxΛ^(1/2)VU^T处的凸函数。
因此，h(σ(G(x)))是G(x)的转置乘以G(x)处的凸函数。