一维热传导方程的初值问题解
时间: 2024-05-26 12:17:39 浏览: 12
一维热传导方程描述了物体内部温度随时间的变化,其数学模型为:
$$\frac{\partial u}{\partial t}=k\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}$$
其中,$u(x,t)$ 表示物体在位置 $x$ 和时间 $t$ 时的温度,$k$ 是热传导系数。
考虑一个长度为 $L$ 的物体,初始时刻温度分布为 $u(x,0)=f(x)$。则该问题的初值条件为:
$$u(x,0)=f(x),\quad 0\leq x\leq L$$
为求解该问题,可以采用分离变量法。令 $u(x,t)=X(x)T(t)$,代入原方程得到:
$$\frac{1}{k}\frac{T'(t)}{T(t)}=\frac{X''(x)}{X(x)}=-\lambda^2$$
其中 $\lambda$ 为常数。解出 $X(x)$ 和 $T(t)$ 后,可以得到通解:
$$u(x,t)=\sum_{n=1}^\infty B_n\sin\left(\frac{n\pi x}{L}\right)e^{-k(n\pi/L)^2 t}$$
其中,$B_n$ 为待定系数,可由初值条件 $u(x,0)=f(x)$ 确定。具体地,有:
$$B_n=\frac{2}{L}\int_0^Lf(x)\sin\left(\frac{n\pi x}{L}\right)dx$$
因此,一维热传导方程的初值问题解为:
$$u(x,t)=\sum_{n=1}^\infty \frac{2}{L}\int_0^Lf(x)\sin\left(\frac{n\pi x}{L}\right)e^{-k(n\pi/L)^2 t}dx\sin\left(\frac{n\pi x}{L}\right)$$