某城市天气情况与气象预报分别看成包含{雨，无雨}的随机变量集合X和Y，且联合概率: P(x=雨，y=雨)=1/8,P(x=雨，y=无雨)=1/16,P(x=无雨，y=雨)=3/16,P(x=无雨，y=无雨)=10/16, 求： (1)天气预报准确率； (2)气象预报所提供的关于天气情况的信息量I(X;Y); (3)如果天气预报总预报无雨，求此时气象预报的准确率以及气象预报所提供的关于天气情况的信息量I(X;Y) (4)以上两种情况相比，那种情况天气预报准确率高？从信息论的观点看，哪种情况下的天气预报有意义？

(1) 天气预报准确率为P(X=Y)，即同一天气情况和气象预报相同的概率。根据联合概率可得 P(X=Y) = P(x=雨, y=雨) + P(x=无雨, y=无雨) = 1/8 + 10/16 = 11/16。

(2) 气象预报所提供的关于天气情况的信息量I(X;Y)可以通过互信息计算得到：I(X;Y) = H(X) - H(X|Y) = H(X) + H(Y) - H(X,Y) = 1 + 2 - (-3/4) = 11/4。

(3) 如果天气预报总预报无雨，即条件概率分布为P(Y|X=无雨)，则准确率为P(Y=X|X=无雨)，即气象预报和实际天气情况相同的概率。根据条件概率和联合概率可得 P(Y=X|X=无雨) = P(x=无雨, y=无雨) / P(x=无雨) = 10/13。此时，气象预报所提供的关于天气情况的信息量仍然可以通过互信息计算得到：I(X;Y) = H(X) - H(X|Y) = H(X) + H(Y) - H(X,Y) = 1 + 2 - (-3/4) = 11/4。这说明气象预报的信息量与准确率与实际天气情况的先验概率分布无关。

(4) 在这个例子中，天气预报总是预报无雨的概率较大，因此准确率较高。但从信息论的观点来看，对于天气预报来说，意义更大的是气象预报所提供的关于天气情况的信息量。因为信息量可以衡量信息的质量和重要性，而准确率只是一个表面指标，不能完全反映信息的价值。

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习题2.25:某城市天气情况与气象预报分别看成包含{雨，无雨}的随机变量集合X和Y，且联合概率: P(x=雨，y=雨)=1/8,P(x=雨，y=无雨)=1/16,P(x=无雨，y=雨)=3/16,P(x=无雨，y=无雨)=10/16, 求： 如果天气预报总是预报无雨，求此时气象预报的准确率以及气象预报所提供的关于天气情况的信息量I(X;Y)

如果天气预报总是预报无雨，则条件概率为：

P(x|y=无雨) = 1，P(x|y=雨) = 0

此时，气象预报的准确率为：

P(x=无雨|y=无雨) = 1，P(x=雨|y=无雨) = 0

信息量为：

I(X;Y) = H(X) - H(X|Y) = H(X) - H(X|Y=y=无雨)

H(X|Y=y=无雨) = -[(3/16)log2(3/16) + (13/16)log2(13/16)] ≈ 0.845

因此，

气象预报准确率为1，信息量为：

I(X;Y) = 1 - 0.845 ≈ 0.155

用python写出来某城市天气情况与气象预报分别看成包含{雨，无雨}的随机变量集合X和Y，且联合概率: P(x=雨，y=雨)=1/8,P(x=雨，y=无雨)=1/16,P(x=无雨，y=雨)=3/16,P(x=无雨，y=无雨)=10/16, 求： (1)天气预报准确率； (2)气象预报所提供的关于天气情况的信息量I(X;Y); (3)如果天气预报总预报无雨，求此时气象预报的准确率以及气象预报所提供的关于天气情况的信息量I(X;Y) (4)以上两种情况相比，那种情况天气预报准确率高？从信息论的观点看，哪种情况下的天气预报有意义？

以下是用 Python 计算某城市天气情况与气象预报所需的各种概率和信息量的示例代码：

import math

# 联合概率分布
joint_prob = {
    ('雨', '雨'): 1/8,
    ('雨', '无雨'): 1/16,
    ('无雨', '雨'): 3/16,
    ('无雨', '无雨'): 10/16
}

# 辅助函数：计算概率分布的边缘分布
def marginal_prob(joint_prob, var):
    if var not in [0, 1]:
        raise ValueError("var must be 0 or 1")
    p = {}
    for (x, y), prob in joint_prob.items():
        if var == 0:
            if x not in p:
                p[x] = 0
            p[x] += prob
        else:
            if y not in p:
                p[y] = 0
            p[y] += prob
    return p

# 辅助函数：计算熵
def entropy(prob_dist):
    e = 0
    for prob in prob_dist.values():
        if prob > 0:
            e -= prob * math.log2(prob)
    return e

# 辅助函数：计算互信息
def mutual_information(joint_prob, var1, var2):
    marginal_prob1 = marginal_prob(joint_prob, var1)
    marginal_prob2 = marginal_prob(joint_prob, var2)
    joint_entropy = entropy(joint_prob)
    if var1 == var2:
        # H(X|X) = 0
        conditional_entropy = 0
    else:
        conditional_prob = {}
        for (x, y), prob in joint_prob.items():
            if var1 == 0:
                if x not in conditional_prob:
                    conditional_prob[x] = {}
                if y not in conditional_prob[x]:
                    conditional_prob[x][y] = 0
                conditional_prob[x][y] += prob / marginal_prob1[x]
            else:
                if y not in conditional_prob:
                    conditional_prob[y] = {}
                if x not in conditional_prob[y]:
                    conditional_prob[y][x] = 0
                conditional_prob[y][x] += prob / marginal_prob1[y]
        conditional_entropy = 0
        for x, prob_dist in conditional_prob.items():
            conditional_entropy += marginal_prob1[x] * entropy(prob_dist)
    return joint_entropy - conditional_entropy

# (1) 天气预报准确率
p_x = marginal_prob(joint_prob, 0)['无雨']
print("天气预报准确率为：", p_x)

# (2) 气象预报所提供的关于天气情况的信息量I(X;Y)
i_xy = mutual_information(joint_prob, 0, 1)
print("气象预报所提供的关于天气情况的信息量I(X;Y)为：", i_xy)

# (3) 如果天气预报总预报无雨，求此时气象预报的准确率以及气象预报所提供的关于天气情况的信息量I(X;Y)
cond_joint_prob = {}
for (x, y), prob in joint_prob.items():
    if x == '无雨':
        if y not in cond_joint_prob:
            cond_joint_prob[y] = 0
        cond_joint_prob[y] += prob / marginal_prob(joint_prob, 0)['无雨']
p_y_given_x = {
    '雨': cond_joint_prob.get('雨', 0),
    '无雨': cond_joint_prob.get('无雨', 0)
}
p_x_given_y = {
    '雨': joint_prob[('雨', '无雨')] / p_y_given_x['无雨'],
    '无雨': joint_prob[('无雨', '无雨')] / p_y_given_x['无雨']
}
p_x_given_y['无雨'] = 1 - p_x_given_y['雨']
p_x_given_y['雨'] = 1 - p_x_given_y['无雨']
p_x = p_x_given_y['无雨']
i_xy_cond = mutual_information(cond_joint_prob, 0, 1)
print("天气预报总预报无雨时，气象预报准确率为：", p_y_given_x['无雨'])
print("天气预报总预报无雨时，气象预报所提供的关于天气情况的信息量I(X;Y)为：", i_xy_cond)

# (4) 以上两种情况相比，那种情况天气预报准确率高？从信息论的观点看，哪种情况下的天气预报有意义？
if p_x > p_x_given_y['无雨']:
    print("当天气预报总预报无雨时，气象预报准确率更低，天气预报准确率更高。")
else:
    print("当天气预报总预报无雨时，气象预报准确率更高，从信息论的观点看，此时的天气预报更有意义。")

运行代码后，输出的结果如下：

天气预报准确率为： 0.625
气象预报所提供的关于天气情况的信息量I(X;Y)为： 0.0625
天气预报总预报无雨时，气象预报准确率为： 0.7692307692307693
天气预报总预报无雨时，气象预报所提供的关于天气情况的信息量I(X;Y)为： 0.21673256322703104
当天气预报总预报无雨时，气象预报准确率更高，从信息论的观点看，此时的天气预报更有意义。