一般平面梁的单元刚度矩阵是怎么推导出来的
时间: 2024-02-29 22:54:52 浏览: 33
一般平面梁的单元刚度矩阵可以使用有限元方法的理论公式推导得到,具体推导过程如下:
首先,将一般平面梁划分为多个单元,每个单元内部是一个简单的几何形状,例如矩形、三角形等。
然后,在每个单元内部建立局部坐标系和节点编号。假设单元的长度为L,截面面积为A,弹性模量为E,横向剪切模量为G,单元的自由度为2,即每个节点有两个位移分量:横向位移和转角。
接着,根据梁的形状和截面尺寸,可以得到单元的局部刚度矩阵。以矩形单元为例,其局部刚度矩阵为:
$$
k = \begin{bmatrix}
\frac{EA}{L} & 0 & 0 & -\frac{EA}{L} \\
0 & \frac{12EI}{L^3} & \frac{6EI}{L^2} & -\frac{12EI}{L^3} \\
0 & \frac{6EI}{L^2} & \frac{4EI}{L} & -\frac{6EI}{L^2} \\
-\frac{EA}{L} & -\frac{12EI}{L^3} & -\frac{6EI}{L^2} & \frac{12EI}{L^3}
\end{bmatrix}
$$
其中,$E$为弹性模量,$A$为截面面积,$I$为惯性矩,$L$为单元长度。
接下来,将局部坐标系和节点编号转换为全局坐标系和节点编号,根据坐标变换公式,可得到单元的全局刚度矩阵:
$$
K = T^T k T
$$
其中,$T$为转换矩阵,将局部坐标系的位移转换为全局坐标系的位移。
最后,将所有单元的全局刚度矩阵加到总刚度矩阵中,得到整个结构的总刚度矩阵。然后,根据边界条件和载荷条件,构建节点位移和节点载荷向量,求解节点位移向量,即可得到整个结构的位移和应力分布。
以上就是一般平面梁单元刚度矩阵推导的基本过程。