有限元单元刚度矩阵推导

有限元单元刚度矩阵推导是指通过数学方法来计算和推导出有限元单元的刚度矩阵。在MatLab中，可以使用符号运算功能来进行有限元单元刚度矩阵推导。

在推导有限元单元刚度矩阵时，可以先建立有限元单元的局部坐标系，并定义适当的形状函数。然后，通过应变 - 势能原理，将单元刚度矩阵表达为局部坐标系下的形状函数导数的积分。

具体步骤如下：
1. 定义有限元单元的局部坐标系。
2. 建立适当的形状函数。形状函数是描述有限元单元内部物理量分布的函数，通常选择多项式函数。
3. 计算形状函数在局部坐标系下的导数。
4. 建立应变 - 势能原理的方程，将单元刚度矩阵表达为形状函数导数的积分。
5. 使用符号运算功能，将上述方程表示为符号形式，并进行求解，得到单元刚度矩阵的表达式。

通过这样的步骤，可以得到有限元单元的刚度矩阵表达式，这将在有限元分析中起到重要作用。

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C3D8单元刚度矩阵推导

### C3D8 单元刚度矩阵推导

对于三维实体单元，特别是常用的八节点六面体单元 (C3D8)，其刚度矩阵的构建基于虚功原理和有限元离散化方法。以下是详细的推导过程：

#### 1. 形函数与位移场描述
为了建立 C3D8 单元的刚度矩阵，首先需要定义形函数 \(N_i\) 来表示单元内任意一点处的位移分量 \(u, v, w\)[^1]。

假设节点编号为 i=1~8，则有：
\[ u(x,y,z)=∑_{i=1}^{8}{N_i(x,y,z)} \cdot {U_i},v(x,y,z)=∑_{i=1}^{8}{N_i(x,y,z)} \cdot V_i,w(x,y,z)=∑_{i=1}^{8}{N_i(x,y,z)} \cdot W_i \]

其中 \( U_i,V_i,W_i \) 表示各节点沿三个坐标轴方向上的广义位移向量。

#### 2. 应变-位移关系矩阵 B 的形成
通过链式法则得到应变分量关于全局坐标的偏导数表达式，并将其整理成紧凑的形式即所谓的[B]阵[^2]:
\[ ε=[B]{δ}=L{d}\left[\begin{array}{ccc}
∂/∂x & ∂/∂y & ∂/∂z \\
& ...\\
\end{array}\right]\left(\sum _{j=1}^{n_e}[N_j][Δq_j]\right)\]

这里 n_e 是单元边界的数目；\( Δq_j \)代表边界上施加的作用力或约束条件所引起的节点自由度变化量。

#### 3. 刚度矩阵 K 的组装
利用胡克定律将应力张量 σ 和应变张量 ε 联系起来之后，在局部坐标系下可以写出每个积分点处的小变形理论下的弹性本构方程:
\[σ=Cε\]
再结合上述提到的应变-位移关系矩阵 [B] 可得整体结构系统的总势能泛函 Π :
\[Π=\frac{1}{2}(∫V(B^TDB)dΩ)-F^Tu\]
最后通过对该泛函求极值得到整个模型对应的总体平衡方程 Ku=F , 其中K就是所需的刚度矩阵.

具体来说，
\[k_{ij}=∫_V[B]^TC[B]|J|dv\]
这里的 |J| 是雅可比行列式的绝对值用于从自然坐标变换至物理空间体积微元 dV .

% MATLAB伪代码实现部分功能
function k = assembleStiffnessMatrix(C,B,Jacobian,detJ)
    % 输入参数说明：
    % C - 弹性系数矩阵
    % B - 应变-位移关系矩阵
    % Jacobian - 雅可比矩阵
    % detJ - 雅可比行列式的绝对值
    
    k = integral(@(xi,eta,zeta)(transpose(B)*C*B*detJ),...
                 -1,+1,-1,+1,-1,+1,'ArrayValued',true);
end

平面四节点矩形单元的单元刚度矩阵推导。

### 平面四节点矩形有限元单元刚度矩阵推导

#### 几何描述与位移模式
对于平面四节点矩形单元，在局部坐标系下，四个节点的位置分别为 \((\pm a, \pm b)\)，其中 \(a\) 和 \(b\) 是半宽和半高。采用双线性插值函数来近似单元内的位移场：

\[ u(x,y) = N_1u_1 + N_2u_2 + N_3u_3 + N_4u_4 \]
\[ v(x,y) = N_1v_1 + N_2v_2 + N_3v_3 + N_4v_4 \]

这里 \(N_i (i=1,\ldots,4)\) 表示形状函数[^1]。

#### 形状函数定义
形状函数可以写成如下形式：

\[ N_1(\xi,\eta)=\frac{1}{4}(1-\xi)(1-\eta), \quad N_2=\frac{1}{4}(1+\xi)(1-\eta), \]
\[ N_3=\frac{1}{4}(1+\xi)(1+\eta), \quad N_4=\frac{1}{4}(1-\xi)(1+\eta). \]

这些形状函数满足在各自对应的角点处取值为1而在其他三个角点处取0的特点。

#### 应变-位移关系矩阵
通过引入无量纲自然坐标 \(\xi=x/a\) 及 \(\eta=y/b\) ，并利用链式法则计算偏导数，则得到应变分量表达式:

\[ [\epsilon]=[\textbf{B}][d], \]

其中 \([d]\) 代表结点自由度向量；而几何矩阵 \([\textbf{B}]\) 的具体结构取决于所选的形状函数及其一阶偏导数。

#### 材料本构方程
考虑各向同性的弹性材料特性，应力张量可通过广义胡克定律关联到应变张量上：

\[ [\sigma]=[D][\epsilon]. \]

这里的 \([D]\) 称作材料属性矩阵或弹性系数矩阵，其组成依赖于杨氏模量 E 和泊松比 ν 等参数。

#### 单元刚度矩阵构建
基于最小势能原理，单元内部的能量密度积分给出总势能泛函 Π 。为了简化处理，通常假设外力作用仅限于边界条件，并忽略体积力的影响。因此，

\[ k_e = \int_{V_e}[B]^T[D][B]dv. \]

由于采用了直边矩形作为基本模型，上述体积分可以通过解析方法完成转换至标准正方形区域上的数值积分操作实现。最终获得离散化后的单元刚度矩阵 \(k_e\) [^2]。

% MATLAB代码片段用于展示如何组装单元刚度矩阵
function Ke = assembleElementStiffnessMatrix(E, nu, t, coords)
    % 定义材料常数 D 矩阵
    D = E / ((1 + nu)*(1 - 2*nu)) * ...
        [1-nu     nu      0;
         nu       1-nu    0;
         0        0       (1-2*nu)/2];
    
    B = zeros(3,8); % 初始化[B]矩阵
    
    % 计算 Jacobian J 和逆Jacobian invJ
    J = jacobian(coords);
    detJ = abs(det(J));
    invJ = inv(J);
    
    % 构建完整的[B]矩阵...
end