给定系统矩阵，如何判断输出能控

对于一个线性时不变（LTI）系统，可以通过它的状态空间表示来判断系统是否可控。给定系统的状态空间表示：
$$\dot{\mathbf{x}}(t) = \mathbf{A}\mathbf{x}(t) + \mathbf{B}\mathbf{u}(t)$$
$$\mathbf{y}(t) = \mathbf{C}\mathbf{x}(t) + \mathbf{D}\mathbf{u}(t)$$
其中，$\mathbf{x}(t)$ 是系统的状态向量，$\mathbf{u}(t)$ 是输入向量，$\mathbf{y}(t)$ 是输出向量，$\mathbf{A}$、$\mathbf{B}$、$\mathbf{C}$、$\mathbf{D}$ 分别是系统矩阵、输入矩阵、输出矩阵和直流增益矩阵。

输出能控性是指系统的每一个状态都可以通过有限时间内的某个控制输入使得系统的输出能够到达任意一个给定的输出状态。因此，如果系统的每个状态都是输出能控的，那么整个系统就是输出能控的。

具体来说，我们可以采用以下的方法来判断系统的输出能控性：

1. 计算可控矩阵 $\mathcal{C}$，它是由系统的矩阵 $\mathbf{A}$ 和 $\mathbf{B}$ 构成的矩阵：
$$\mathcal{C} = [\mathbf{B}, \mathbf{AB}, \mathbf{A}^2\mathbf{B}, \cdots, \mathbf{A}^{n-1}\mathbf{B}]$$
其中，$n$ 是系统的状态数量。

2. 计算矩阵 $\mathcal{O}$，它是由系统的矩阵 $\mathbf{A}$ 和 $\mathbf{C}$ 构成的矩阵：
$$\mathcal{O} = [\mathbf{C}, \mathbf{CA}, \mathbf{CA}^2, \cdots, \mathbf{CA}^{n-1}]^T$$

3. 判断矩阵 $\mathcal{O}\mathcal{C}$ 的秩是否等于 $n$。如果等于 $n$，则系统是输出能控的；否则，系统就不是输出能控的。

简单来说，如果系统的可控矩阵和可观矩阵的乘积的秩等于系统状态的数量，那么系统就是输出能控的。