证明: Sn_(x)=(S0(x)+S1(x)+…+S(x))/n+1 当n→∞时在[一π, π]一致收敛到f(x)

根据三角函数的定义，可以得到

S_n(x) = sin(x/2) + sin(3x/2) + ... + sin((2n-1)x/2)

将每个sin项拆开，可以得到

S_n(x) = (cos(x/2) - cos(3x/2)) / 2 + (cos(3x/2) - cos(5x/2)) / 2 + ... + (cos((2n-1)x/2) - cos((2n+1)x/2)) / 2

将等式两边同时乘以sin(x/2)，可以得到

S_n(x)sin(x/2) = (cos(x/2)sin(x/2) - cos(3x/2)sin(x/2)) / 2 + (cos(3x/2)sin(x/2) - cos(5x/2)sin(x/2)) / 2 + ... + (cos((2n-1)x/2)sin(x/2) - cos((2n+1)x/2)sin(x/2)) / 2

使用三角函数的和差公式，可以将等式右边化简为

S_n(x)sin(x/2) = (sin(2x) - sin(4x)) / 4 + (sin(4x) - sin(6x)) / 4 + ... + (sin(2nx) - sin((2n+2)x)) / 4

合并同类项，可以得到

S_n(x)sin(x/2) = (sin(2x) - sin((2n+2)x)) / 4 = sin((n+1)x)sin(nx) / (2sin(x/2))

因此，可以得到

S_n(x) = (2sin((n+1)x)sin(nx)) / (4sin(x/2)) = sin((n+1)x)sin(nx) / (2n sin(x/2))

现在需要证明的是，当n→∞时，Sn(x)在[一π, π]一致收敛到f(x)，其中f(x) = π/2，即

lim n→∞ sup |Sn(x) - f(x)| = 0

由于sin(nx)和sin((n+1)x)都是周期为2π的函数，因此只需要证明f(x)在一个周期内的一致连续性即可。

当|x-y|<π时，有

|f(x) - f(y)| = |π/2 - π/2| = 0

当π≤|x-y|≤2π时，有

|f(x) - f(y)| = |π/2 - (-π/2)| = π

因此，f(x)在一个周期内一致连续，也就是说，当n→∞时，Sn(x)在[一π, π]一致收敛到f(x)，即

lim n→∞ sup |Sn(x) - f(x)| = 0

证毕。