4位二进制补码和8位二进制补码

### 4位和8位二进制补码的概念

在计算机科学中，为了有效地表示有符号整数并简化加法器的设计，采用了二进制补码表示法。这种编码方式允许机器使用相同的硬件电路来进行无符号数和带符号数之间的加减操作。

#### 4位二进制补码

对于4位系统而言，能够表达的数值范围是从-8到7。具体来说：

| 十进制 | 二进制补码 |
|--------|------------|
| -8 | `1000` |
| ... | ... |
| -1 | `1111` |
| 0 | `0000` |
| 1 | `0001` |
| ... | ... |
| 7 | `0111` |

当最高有效位（MSB）为1时，则该数被认为是负数；而如果MSB为0，则认为是非负数[^1]。

要获得某个正整数n对应的4位二进制补码形式，只需将其转换成普通的4位二进制即可。而对于一个负整数-n，在求其补码之前先计算它的绝对值|n|的原码，接着对该原码按位取反再加一得到最终的结果。

// C++ example to convert decimal to 4-bit two's complement
int dec_to_4bit_twos_complement(int n) {
    int result;
    if(n >= 0 && n <= 7){
        // Positive numbers directly converted into binary.
        result = n;
    }else{
        // For negative numbers, calculate absolute value,
        // invert bits and add one.
        result = (~abs(n)) + 1;
    }
    return result % 16; // Ensure it fits within 4 bits by modulo operation with base(2^4).
}

#### 8位二进制补码

同样的原理适用于更宽泛的数据宽度，比如常见的8位字节。此时可表示的范围扩大到了−128至127之间。下表展示了部分对应关系：

| 十进制 | 二进制补码 |
|--|
| -128 | `10000000` |
| ... | ... |
| -1 | `11111111` |
| 0 | `00000000` |
| 1 | `00000001` |
| ... | ... |
| 127 | `01111111` |

同样地，通过改变最左边的一位来区分正值还是负值，并遵循上述提到的方法完成从十进制向八位二进制补码的转变过程。

def dec_to_8bit_twos_complement(n):
    """Convert a given integer 'n' (-128 ≤ n ≤ 127) to its equivalent 8-bit two’s complement."""
    if not(-128 <= n <= 127): raise ValueError("Input out of range.")
    
    mask = 0xFF # Equivalent to eight ones in binary form
    
    if n < 0:
        n = ((~n)+1)&mask
        
    return format(n,'08b')[-8:] # Ensures output is always an 8-character string padded with leading zeros as necessary.

print(dec_to_8bit_twos_complement(-5))
# Output should be "11111011"