贪婪算法什么时候有最优解

贪婪算法在某些情况下可以得到最优解，但并不是所有情况都可以。

具体来说，贪婪算法通常在满足贪心选择性质和最优子结构性质的问题中能够获得最优解。贪心选择性质是指每次选择局部最优解，最终得到全局最优解；最优子结构性质是指问题的最优解包含其子问题的最优解。

例如，求集合覆盖问题的最小解可以采用贪婪算法，每次选择能够覆盖最多未覆盖元素的集合，最终得到最优解。但是，对于旅行商问题等NP难问题，贪婪算法并不能保证得到最优解。

因此，应该根据具体问题的特点来选择合适的算法。

相关问题

贪婪算法背包问题最优解的证明

贪婪算法背包问题最优解的证明如下：

假设有一个背包问题，其中物品的重量分别为w1, w2, ..., wn，对应的价值分别为v1, v2, ..., vn。背包的容量为C。

贪婪算法的思想是每次选择单位重量价值最高的物品放入背包中，直到背包无法再放入物品为止。

现在假设贪婪算法得到的解为S，而最优解为S*。

我们需要证明贪婪算法得到的解S是最优解S*的一个子集。

假设贪婪算法选择的物品集合为G，最优解选择的物品集合为O。

首先，我们可以得出结论：对于任意一个物品i，如果它在G中，但不在O中，那么它一定不是最优解。

假设存在这样的物品i，它在G中，但不在O中。那么我们可以将物品i从G中移除，并将O中的某个物品j放入背包中，使得总价值增加。这与最优解的定义相矛盾，因此不存在这样的物品i。

接下来，我们需要证明贪婪算法得到的解S是最优解S*的一个子集。

假设存在这样的物品k，它在O中，但不在G中。那么我们可以将物品k从O中移除，并将G中的某个物品l放入背包中，使得总价值增加。这与贪婪算法的选择规则相矛盾，因此不存在这样的物品k。

综上所述，贪婪算法得到的解S是最优解S*的一个子集。

因此，贪婪算法背包问题最优解的证明完成。

贪婪算法硬币找零最优解问题证明2

在贪心算法中，我们选择当前面值最大的硬币，直到找零金额为0为止。假设我们有一个最优解，使用最少的硬币数量来找零给定的金额。我们假设最优解为c1, c2, ..., cn，其中c1是最大的硬币面值。如果我们可以证明贪心算法的解也包含c1，那么我们就可以证明贪心算法的解是最优解。

假设最优解不包含c1，那么我们可以用更小的面值的硬币替换c1，得到一个解c2, c3, ..., cn，它使用的硬币数量比最优解少，这与最优解的假设矛盾。因此，最优解必须包含c1。

接下来，我们考虑用最大面值硬币c1取代一些其他硬币，看看是否可以得到更优的解。假设我们有一个最优解c1', c2', ..., cn'，其中c1' < c1。因为c1是最大的硬币面值，所以我们可以用若干个c1'来替换c1，得到一个新的解c1', c1', c2', ..., cn'，它使用的硬币数量比最优解少，这与最优解的假设矛盾。因此，我们得到的贪心算法的解也是最优解。