混合算法求解非线性方程组的最优解：DEMBO算法的效率分析

可在ScienceDirect上获得目录列表计算设计与工程杂志首页：www.elsevier.com/locate/jcde计算设计与工程学报6（2019）354求解非线性方程Abdelmonem M.作者声明：a，b.塔希德湾a埃及艾斯尤特艾资哈尔大学艾斯尤特分校数学系b汤普森河大学理学院数学与统计系，加拿大，坎卢普斯，BC V2C阿提奇莱因福奥文章历史记录：接收日期：2018年收到修订版2018年10月16日接受2018年10月16日在线发售2018年保留字：混合算法MetaQuotes非线性方程组微分进化帝王蝶优化A B S T R A C T在这项研究中，我们提出了一个新的混合算法，包括两个元启发式算法;差分进化（DE）和帝王蝶优化（MBO）。这种混合体被称为DEMBO。这两种算法都是求解非线性系统和非约束优化问题的典型算法。DE是一种常见的元启发式算法，它搜索大面积的候选空间。不幸的是，它通常需要更大量的函数求值才能获得最优解。至于MBO，它以其耗时的适应度函数而闻名，但它会陷入局部极小值。为了克服这些缺点，我们将DE和MBO结合起来，提出了DEMBO，它可以获得大多数非线性系统以及无约束优化问题的最优解我们应用我们提出的算法，DEMBO，九个不同的，无约束优化问题和八个著名的非线性系统。我们的结果，当与其他现有的算法在文献中，表明DEMBO给出了最好的结果，为大多数的非线性系统和无约束优化问题。因此，实验结果表明，我们的混合算法的效率相比，已知的算法。©2019计算设计与工程学会Elsevier的出版服务这是一个开放在CC BY-NC-ND许可证（http://creativecommons.org/licenses/by-nc-nd/4.0/）下访问文章1. 介绍求解非线性方程组是学者们面临的最具挑战性的问题之一。多年来，研究人员一直专注于寻找解决非线性系统的方法，因为它们出现在各种学科中，如工程学，经济学，化学，力学和应用数学（GrosanAbraham，2008; Moré，1990; Pintér，2001）。长期以来，非线性方程无论是在理论上还是在数值计算上都有大量的研究，但由于传统的数值方法要么要求有满意的初始解，要么要求给定的函数是可微的，因此求解非线性方程仍然是一个困难的任务。不幸的是，如果模型是非光滑的和/或精确解是未知的，这些条件是不实际的。由于上述原因，研究人员一直对求解非线性方程组感兴趣，并开发了各种不同的方法来帮助找到这些问题的最优解。近几十年来，元启发式算法由计算设计与工程学会负责进行同行评审。*通讯作者。电 子 邮 件 地 址 ： abdelmonem@azhar.edu.eg （ A.M.Ibrahim ） ，mtawhid@tru.ca（M.A.Tawhid）。（ MA ） （ Abdechiri ， Meybodi ， &Bahrami ， 2013;Cuevas&Cienfuegos ， 2014; Geem ， Kim ， &Loganathan ， 2001;Kennedy&Eberhart，1995; Rashedi，Nezamabadi，&Saryazdi，2009; Storn，1995; Wang et al.，2015;杨&德布，2009）正在增长。他们已经证明了他们解决这些问题的效率。MA消除了上述的一些困难，在文献中，它们迅速取代了用于解决实际优化问题的典型方法。通常，MA试图在合理的计算时间内通过试错来找到优化问题的满意解。在过去的几十年中，几种MA，如差分进化（DE）（Storn，1995）、粒子群优化（PSO）算法（Kennedy&Eberhart，1995）、布谷鸟搜索（CS）（Yang& Deb，2009）、帝王蝶优化（MBO）（Wang，Deb，et al.，2015）、气体布朗运动优化（Abdechiri等人，2013）、社交蜘蛛优化（SSO）（Cuevas& Cienfuegos，2014）、引力搜索算法（GSA）（Rashedi等人，2009）和和声搜索（HS）算法（Geem等人，2001年）提出。随着智能算法的发展，如PSO算法和DE算法等，求解非线性方程组的搜索过程变得相对简单，并且具有全局搜索能力。也就是说，尽管它们在这类算法中表现出色，但它们的局部搜索能力仍然相对较差，不能充分利用https://doi.org/10.1016/j.jcde.2018.10.0062288-4300/©2019计算设计与工程学会Elsevier的出版服务这是一个在CC BY-NC-ND许可证下的开放获取文章（http://creativecommons.org/licenses/by-nc-nd/4.0/）。上午Ibrahim，文学硕士Tawhid/ Journal of Computational Design and Engineering 6（2019）354355>：X我解复杂的非线性方程。因此，算法的混合是新发现的技术之一，当使用时 ， 成 功 地 解 决 了 非 线 性 方 程 组 （ Koupaei Hosseini ， 2015;Koupaei，Hosseini，Ghaini，2016;Ouyang，Zhou，Luo，2009;Yang，Zhou，Gong，2010; Turguta，Turgutb，Cobana，2014;Yadav，Kumar，Panda，Chang，2012）。为了增强DE算法（Storn&Price，1997）和MBO（Wang，Deb等人，2015年），提出了一种改进的混合算法的两个自然启发的算法，DE和MBO，（称为DEMBO）来解决非线性方程组。DE（Storn，1995）是由Storn和Price提出来求解全局优化问题的。这个算法（Chakraborty，2008）是值得信赖的，也是一个方便的基于种群的优化器。它也很容易实现，并且在开发了DE的各种变体的研究人员中非常普遍（Neri Tirronen，2010）。然后，这些研 究 人 员 将 DE 及 其 变 体 应 用 于 工 程 和 科 学 中 的 许 多 应 用（Das&Suganthan，2011; Neri Tirronen，2010），他们还将DE与其他算法进行了杂交（Das Suganthan，2011; Das，Mullick，Suganthan，2016）。尽管如此，DE在某些领域是强大的，当适应度函数的数量有限时，它很难找到全局最优值。它在利用解决方案方面进展缓慢（NomanIba，2008年）。因此，需要提高DE的性能Wang，Deb等人（2015）基于帝王蝶的迁移特征开发了帝王蝶优化（MBO）目标优化算法已经应用于基准问题，并证明了其有效性和优越性，在该领域的其他算法。因此，研究人员将MBO应用于各种问题，如背包问题（Feng，Yang，Wu，Lu，Zhao，2016;Feng，Wang，Deb，Zhao，2017），神经网络训练（Faris，Aljarah ， Mirjalili ， 2017 ）和车辆路 径问题（ Chen ， Chen ，Gao ， 2017 ） ， 并 通过 引 入 MBO 的 一 些修 改 对 其进 行 了 改进（Wang，Deb，Zhao，Cui，2016;Ghanem Jantan，2016）。通过研究，Wang，Deb，et al. （2015）有报道称，管理层收购的业绩并不理想，量子粒子群算法（LQPSO）（Turguta等人，2014）、引力搜索算法（GSA）（Rashedi等人，2009）、智能调谐和声搜索算法（ Intelligent Tuned Harmony Search algorithm ， 简 称 THS ）（ Yadav 等 人 ， 2012 ） ， CG-SNLE （ Koupaei &Hosseini ，2015 ）， 建议的PSO （PPSO）算 法（ Mo ， Liub， &Wang，2009），PSO，SCO，QPSO和HPSO（Jaberipour，Khorram，&Karimi，2011; Abdollahi，Isazadeh，&Abdollahi，2013）。至于无约束优化问题，我们将我们的DEMBO与各种进化优化算法进行了比较，包括DE，MBO，社会蜘蛛优化（SSO）（Cuevas&Cienfuegos，2014）和GSA（Rashedi等人， 2009年）。实验结果表明，我们的混合算法的优越性与其他算法相比。第二部分介绍了非线性方程组模型、DE算法和MBO算法。第三节给出了DE和MBO相结合的混合方法第4节测试了DEMBO算法在九个不同的无约束优化问题上的性能。第五节列出了八个非光滑非线性方程组的数值结果，并测试了所提出的算法在这些非光滑系统上的性能。最后，第6节总结了本文的结果，并列出了我们未来工作的主题2. 理论背景在本节中，主要概念已简要回顾了本文所采用的技术。2.1. 非线性方程模型首先，假设非线性方程的一般形式，即有n个变量和m个非线性方程组，可以描述为f1x1; x2; x3;.. . ; x n¼ 0fx;x;x; .. . ;x± 0.05cerning标准值，并证明了一些平均健身基准。 MBO在全局搜索中表现良好，但在2123N..ð1Þ有时会陷入局部最优。 同样，需要克服目标管理的缺点，使其可以在各种应用中使用。我们总结本文的贡献如下：为了克服DE和MBO的缺点，我们将DE和MBO结合起来，并将所提出的算法称为DEMBO。 我们使用整个MBO算法（不使用Lévy飞行）作为DE的交叉操作。据我们所知，使用MBO算法（不使用Lévy飞行）作为另一种元启发式算法的交叉操作是一种新方法，其可以与任何其它元启发式算法一起使用fn=x1; x2; x3;.. . ; x n¼ 0：已 知 （ Koupaei& Hosseini ， 2015; Luo ， Tang ， &Zhou ，2008;Turguta等人，2014），求解非线性方程组等价于称为优值函数的 无约 束最 小 化问 题。 有 两个 价 值函 数用 于 此目 的（Koupaei&Hosseini，2015; Luo等人，2008; Turguta等人，2014），第一优值函数描述如下：8>查找：x1;x2;. . . ;xn<$T;X2Rn;n22Þ来解决更复杂的问题。通过将算法向具有较少函数评估的有希望区域移动来获得更好的解决方案。基于均值的随机游走改进目标管理土地2的人口价值（见标准说明●最小值：FXfi：1/1另一个优值函数描述如下：8>查找：X1/4x1;x2;。 . . ;xn<$T ;X2Rn;第2节中的MBO）而不是Lévy Flight。：Min： FX¼n1/1f2;现有的算法在文献中，包括集成其中R是解决方案空间。解决这些问题根源的挑战贪婪策略和自适应交叉算子，帝王蝶优化（GCMBO）（Wang等人， 2016年）、非线性系统的混沌映射与n维GSS算法方程（CG-SNLE）（Koupaei Hosseini，2015），混沌●●●●356上午Ibrahim，文学硕士Tawhid/ Journal of Computational Design and Engineering 6（2019）354方程中的非线性方程组（1）转化为无约束优化问题，其中方程中的根（1）是等价于方程中的适应度函数的最小值（2）或Eq. （三）、上午Ibrahim，文学硕士Tawhid/ Journal of Computational Design and Engineering 6（2019）354357Jtt2½]半]我¼ð Þ¼ω我们的团队-我12NPj、我j、i;1i;2i;n我BCi;k最我i;kr1;k我i;kr2;k2.2. 差分进化算法DE算法是Storn和Price（1997）提出的一种简单而强大的搜索技术，用于求解复杂的连续非线性函数。传统的DE算法开始于初始化NP目标个体的群体P t; fx t;x t;. 其中t表示当前迭代，单独地. ; x t;i ¼ 1; 2;.NP是具有随机确定的参数值的n维向量。采用变异和交叉算子产生新的候选向量，并采用选择策略来确定是子代还是亲代生存到下一代（差分进化码）。重复上述过程，直到达到终止标准。文献中有许多突变策略（Pan，Suganthan，Wang，Gao，Mallipeddi，2011）。一个常用的运算符描述为2.3.2. 蝶形调节器基于Lévy飞行的随机步进dx（等式2）（6））是为了鼓励探索和开发000MBO算法的过程。当量（5）描述了使用随机步进行走dx的更新第j个君主but-1。xtk1¼xtk1adxk-0：5;5dx是蝴蝶j的行走步数，其可以通过使用Lévy flight来计算（Wang，Deb等人， 2015年）。dx¼Le'vyxt：6a是加权因子，如等式2所示（7）通过设置最大行走步数Smax。a¼S最大值=t27以下步骤总结了蝶形调整的过程Vt¼xt公司简介 -x4操作符.其中b;c是在范围1 ; NP和DW中随机选择的两个索引 0; 1是突变比例因子。注意，参数混合通常被称为交叉。如果试验向量产生比目标向量更低的成本函数值，则试验向量在下一代中替换目标向量。这最后一个操作被称为选择的过程，交叉-变异会持续固定的世代步骤1：对于Subpopulation 2中帝王蝶的所有元素，执行以下步骤。第二步：按均匀分布随机生成一个数字rand。步骤3：如果r6p，则生成xt 1的第k个元素为xt1.5 xt.步骤4：否则，随机选择一只帝王蝶在Subpopulation- tion 2（假设r3）.步骤5：生成x t 1的第k个元素为x t1¼ x t.直到满足终止条件。i j;kr3;k2.3. 帝王蝶优化目标优化算法是一种新的优化算法，它模拟了北美东部帝王蝶的迁移能力。每年夏天，它们从美国和加拿大南部（陆地1）飞到墨西哥（陆地2）数千英里，通过迁移，它们产生后代（Wang，Deb等人，2015年）。因此，帝王蝶的位置以两种方式更新。首先，通过偏移算子产生子波;随后，另一只蝴蝶的位置调整操作器调节蝴蝶。此外，注意，迁移运算符和蝶形调整运算符可以同时实现2.3.1. 偏移算子人口分为土地1和土地2的两个子人口NP1细胞PNP 和NPNP1表示分别在土地1和土地2中的帝王蝶的数量。在这里，ceil x 将x舍入为大于或等于的最接近的整数x;NP是种群大小;p和表示土地1中帝王蝶的比例，并设置为5/12。以下步骤（Wang，Deb等人，2015; Wang等人， 2015）描述迁移操作符：步骤1：对于所有元素（k1;... ;n）在亚群1中的帝王蝶中，执行以下步骤。步骤2：通过均匀分布随机生成一个数字randrand rand（rand表示迁移周期，设置为1.2（每年12个月）（Wang，Deb等人， 2015））。第三步：如果r>p，在子种群1中随机选择一只帝王蝶（比如r1）.步骤4：生成x t 1的第k个元素为x t1¼ x t.步骤6：如果rand>BAR（BAR指示蝶形调整速率），则如等式1中那样生成xt= 1的第k个元素。（五）通过对帝王蝶个体迁移行为的理想化，可以形成目标管理方法，其示意性描述可以按照以下步骤进行描述。步骤1：初始化种群P中的帝王蝶（解决方案）。第二步：根据位置评估每只帝王蝶。第三步：根据适合度对所有帝王蝶个体进行排序。第四步：将帝王蝶个体分为两个亚群（P1和P2）.步骤5：对于P1中的所有帝王蝶，根据来自P1和P2的迁移算子生成新的Subpopulation1第六步：对P2中的所有帝王蝶，根据蝴蝶调整算子生成新的子种群2.第7步：将两个新生成的子群体合并为一个完整的群体。重复步骤2至步骤7，直到满足停止标准3. 算法描述为了提高DE和MBO的收敛能力，我们提出了一种新的混合MBO和DE。在该算法中，我们结合了两种算法，即DE和MBO，通过引入MBO和交叉技术从DE作为一种适应。我们发现，目标管理的绩效提高时，我们将其与DE。在基本的MBO算法中，在每隔一段时间将种群P分为子种群1和子种群2（分别为P1和P2），世代t在DEMBO，一个新的突变君主人口，但-步骤5：否则，随机选择一只帝王蝶在Subpopulation- tion 2（说r2）.步骤6：生成x t 1的第k个元素为x t1¼ x t.根据Eq. （4）提高解决方案的质量。如在MBO中，新群体V被划分为两个子群体V1、V2、V3、V4、V5、V6、V7、V8、V9、V10、V11、V12、V13、V14、V15、V16、V17、V18、V19、. ;NP1和V 2 j2V;j/NP11;. ;NP.最358上午Ibrahim，文学硕士Tawhid/ Journal of Computational Design and Engineering 6（2019）354算法1. DEMBO蝶形调节操作器算法2.DEMBO算法的伪代码上午Ibrahim，文学硕士Tawhid/ Journal of Computational Design and Engineering 6（2019）354359¼不.XX1;.. . ;j;kMaxIterj;kj;kdxt 1/4aωrandnω10u;10通过简化和理想化MBO迁移过程，基于来自P1和P2的帝王蝶的选择来生成土地1中的子种群1的新生成的帝王蝶。而在DEMBO偏移过程中，新的P1是通过从P1和V2中选择帝王蝶产生的，见算法2。在我们的研究中，我们修改了MBO蝶调整算子，并在算法1中描述了它。蝶形调整算子的目的是鼓励探索和利用的过程，并避免在整个搜索过程中的局部极小值的任何潜在的陷阱。为此，Eq。（5）修改如下：其中t是当前迭代，MaxIter是最大迭代次数，参数d由我们的实验选择为0.1用于求解无约束函数问题，0.5用于求解非线性方程组。通过增加代数，参数BAR从d线性递减到零。我们的目标是通过使用两个新的步行步骤的帝王蝶dx方程，以提高解决方案的质量。（10）以及参数BAR的修改。从BARd开始，探索搜索空间以寻找最优解，并且通过减小BAR的值，应用开发搜索土地2中的君主但terflies不仅是从x最好和V2更新，但我们xt1.5xt粤公网安备44010802000018号然后加上一个新的参数k，1号地的V1是一个迁移的机会.从等式（8）当前帝王蝶的更新从x t切换到x t，其中xt是君主可以看出，MBO算法可以通过调整比值p来平衡迁移算子的方向。通过DEMBO，j;kavgavg其中两个调节比率，p和p是为了迁移而产生的蝴蝶在亚群2，并可以制定为1 2算子和xt¼1名国家警察2名NPNP2xtxtNP！：109蝶形调节操作器。在MBO中，p1被设置为等于p，其中p1/45= 12，并且p2/40： 02。我们选择p2av g2j¼1j;12j¼1j;n要非常小，以减少陷入局部极小的可能性当然。如果p2很大，更多的帝王蝶的元素如图所示在公式（8）中，Lévy飞行被新提出的步长dx所取代。第j只帝王蝶的dx可以通过下式计算：tj;kj;k其中，a由Eq表示。（7），randn是正态分布的随机数，将选择当前最佳解决方案。此外，我们根据实验结果将参数k设为0.1，这意味着从V1中选择的个体数小于或等于整个群体的10%。DEMBO算法在算法2中描述。DEMBO算法的简要介绍如图所示。1.一、dom编号，u t是介于1.0和6.0在每个决策变量k处生成每个第j个帝王蝶。如标准MBO中所提到的，基于从最佳解和子种群2中选择帝王蝶来生成土地2中的子种群2的新生成的帝王蝶。在DEMBO中，P2的新生成的帝王蝶从最优解和V2中选出.在此基础上，在所提出的算法中修改蝶形调整率BAR，并且蝶形调整率BAR可以计算如下：BARt¼d。1-t;114. 无约束优化问题的算法效率和性能我们测试我们提出的算法DEMBO在九个著名的无约束优化问题表2中列出。此外，为了验证DEMBO的性能，我们将其与其他四种进化优化技术进行了比较，即DE，MBO，社交蜘蛛优化（SSO）（Cuevas&Cienfuegos，2014）和引力搜索算法（GSA）（Rashedi等人，2009年）。DEMBO、DE和MBO的参数设置见表1图1.一、DEMBO的示意流程图avg360上午Ibrahim，文学硕士Tawhid/ Journal of Computational Design and Engineering 6（2019）354P.ð---J我0：21/1：1/11/1þ我的þðI¼f3πxπ^Pn1½x2-10cosπ2pxiπ]π1 0n30[-5.12，5.12]xω^π0;。 . . ;0μT我4000I¼我I¼pi5 ð 联系我们þ2019年01月01日001分x2分x2分126ni¼1in1/1我1/1fx0：1fsi n23px1Pn-1xi-12½1sin23pxi1]30[-50，50]xω1;。 . . ;1公吨þf9xpf10sin2py1pn-1yi-12½110sin2pyi1]30[-50，50]xω1;。 . . ;1公吨8表1实验算法的参数设置技术参数DEMBODW 1/40：6;p1/45=12;p2/40：02;p1/41：2;Smax 1/41：0;k 1/40：1; d1/4f 0：1;0：5g分别用于无约束和非线性系统，DEDW 1/4 0： 6，交叉概率= 0.3MBOp¼ 5= 12;压力 1： 2;BAR¼ 5= 2;Smax¼ 1： 0GCMBOp<$5=12;压力 1： 2;BAR< $5= 2;Smax<$1：0表2使用基准无约束优化问题测试算法的性能。函数最优解f1xPn X2230[-100，100]xω 1/2 0;.. . ;000Ti¼1ifxPn-1½100xi1-x22x i-1 π2]30[-30，30]xω1/2π 1;.. . ; 100吨f4x1Pn1x2-Qn1cosxi1122xω ^0;.. . ;000TFx05Sin2px2p x 2pxpxpxppx ppxpxp2 [-100，100]xω 1/2Ω 0;0 ΩTfx-20exp-0：02q1Pnx2-exp1Pn余弦2px余弦20经验1 π30[-32，32]xω 1 π 0;.. . ;000Tf7×10×1041/10：15 z i0：05签名Z i2d i;如果x是zi<0： 05;di x2;4[-1000，1000]jxωij0：051000; 10;1000日元，以及z i¼0：2 bjxij 0：49999 csignaturex i。xn-1uxi;5;10 0;4。8kxi-am;xi>a;uxi;a;k;m ¼-a6x16a;0的Mk-x i-a ;xi-a：4->5 2 62表3（续）函数算法min mean std max Time（s）f8MBODE1.3498E-32 1.3806E-32 1.1222E-33 1.8428E-32 1.592DE 1.3498E-32 1.8097E-01 8.0417E-01 3.5975E+00 1.587MBO 6.8286 E-10 1.9065 E +08 4.0130 E +08 1.2469 E +09 175.546沪ICP备15000000号-1GSA 3.0876E-19 2.9526E-01 6.3032E-01 2.3630E+00 4.191f9MBODE1.5705E-32 1.5802E-32 1.5172E-34 1.6028E-32 1.625DE 1.5705E-32 3.6284E-02 9.6754E-02 4.1467E-01 1.583管理层收购8.8436 E-11 1.4483 E +08 2.3299 E +08 7.3169 E +08 174.8424.6491E+00 4.6491E+00 9.1125E-16 4.6491E+00 3.434GSA 2.3114 E-20 5.9375 E-01 6.0441 E-01 2.0353 E +00 4.234而其他比较算法的参数设置取自其原始论文。每个算法运行20次，最多迭代2000次，种群大小为30。为了评估每种算法的性能，我们在表3中列出了每种算法所有运行的最小值、平均值、最大值和标准差。从表3中可以看出，DEMBO在九个无约束优化函数中的七个函数中表现出最佳性能，DE在五个函数中排名第二。同时，DEMBO能够为五个函数中的四个函数（f3;f4;f5;f7）找到最优解，与之相比，与DE和MBO（f5;f7）相比，他们只找到了两个功能。我们还可以看到，DEMBO获得了f7的最佳结果超过20次。另一方面，SSO和GSA无法在此实验设置下获得任何测试函数的最优解在表3中，我们比较了DEMBO算法与其他算法的平均运行时间。结果表明，DEMBO算法的平均运行时间明显低于其他算法。此外，它（DEMBO）显示出令人满意的性能和快速的运行时间为大多数的测试功能。相比之下，MBO由于Lévy飞行步骤计算而具有更长的运行时间当最大迭代次数增加时，这个缺点尤其明显。在观察结果时，DEMBO算法对30次运行的最优收敛是相当明显的。为了进一步研究该算法的收敛行为，DEMBO算法在求解无约束问题时的收敛曲线如图2所示。收敛曲线表明，DEMBO在一系列迭代过程中具有稳定的收敛性。注意，本研究的主要目的之一是提高混合算法的性能。我们的目标是使用DEMBO来提高求解时的精度，以及在收敛过程中获得更高的稳定性这样做弥补了原算法，DE和MBO的缺点，特别是收敛的不稳定性如上所述，尽管DE具有优越的性能，但也存在一些缺点，如陷入区域最优，需要重新确认。迭代过程中的结果（最大值和标准值）两种算法DE和MBO之间的比较表明研 究 6 ） ， 我 们 将 我 们 的 结 果 与 （ Koupaei &Hosseini ， 2015;Turguta et al.， 2014年）。为了公平比较，我们将population size的主要调优参数同样，我们实现了一种修改的MBO算法，即用于帝王蝶优化（GCMBO）的贪婪策略和自适应交叉算子（Wang等人，2016年，在相同的条件下进行实验。算法的参数设置可在表1中定义。我们比较我们提出的算法的最佳结果与非线性方程组的混沌映射和n-D GSS算法（CG-SNLE）（Koupaei &Hosseini，2015），混沌量子PSO（LQPSO）（Turguta等人，2014）、引力搜索算法（GSA）（Rashedi等人， 2009）和智能调谐和声搜索算法（Intelligent TunedHarmony Search algorithm，ARMS）（Yadav等人， 2012年）。对于案例研究7和案例研究8，我们执行100次连续算法运行，每个案例研究的最大迭代次数为1，200，种群大小为60。对于这两种情况，我们将最佳结果与算法的现有结果进行了比较，即CG-SNLE（Koupaei&Hosseini ， 2015 ） ， Proposed PSO （ PPSO ） 算 法 （ Mo 等 人 ，2009 ） 、 PSO 、 SCO 、 QPSO 和 HPSO （ Abdollahi 等 人 ， 2013;Jaberipour等人，2011年）。在本节中，我们在等式中使用两个价值函数（2）和（3）在我们的计算解决非线性系统。请注意，这些是根据作者选择的（Koupaei&Hosseini，2015; Turguta等人，2014年，他也使用了这些功能。因此，为了公平比较，我们使用了相同的函数。我们报告统计结果，如最小/最佳值，最大/最差值，和标准差/标准值为每个案例研究。我们还计算了算法DEMBO和GCMBO的平均运行时间。此外，我们提出了我们的算法DEMBO的成功率（Suc）是成功的解决方案的数量，当适应度函数趋于零，出的总运行数（在本实验中为100）。案 例 研 究 1. 以 下 6 维 系 统 在 （ Koupaei &Hosseini ， 2015;Krzyworzcka，1996; Mo等人，（2009年）8>x11x2x4x60：75¼0;通过结合两者，的DE。同样，DEMBO可以改善缺点，例如，时间-通过增加新的步长消耗目标管理的适应度函数而不是Lévy飞行，并通过添加DE（突变的帝王蝶）来提高解决方案的质量。x2mm0： 405expansion1mmx1x2mm-1： 405¼ 0;x3-1x4x6mm1： 5¼ 0;0： 605expansion 1-x3mm- 0：395¼ 0;x-1xx1：5 ¼ 0;ð12Þ2x6-x1x5¼0：5. 说明性案例和模拟结果为了检验优化算法的性能，我们应用非线性方程的基准系统本文在分析了现有文献的基础上，我们应用八个测试系统来检验DEMBO的效率和性能。对于前六个案例（从案例研究1到案例其中-26 x i≤ 2; i 1/4 1;.. . 6. 该系统的最优解是xω1; 1;1; 1;1; 1T.在表4中，我们比较了DEMBO和其他算法获得的结果（Koupaei&Hosseini，2015; Turguta等人， 2014年）。 如上图表4中，DEMBO在为两个目标函数Eqs找到最佳解时优于所有其他算法。（2）或（3）。Dembo：>个><362上午Ibrahim，文学硕士Tawhid/ Journal of Computational Design and Engineering 6（2019）354联系我们1324x5x3x2x6x4x2¼c4;在表5中，除了GCMBO、CG-SNLE和GSA之外的8>>公司简介434图二.收敛图。使用等式获得精确解xω1;1; 1; 1; 1; 1T（2），而其他算法即使经过100次运行也不能得到最优解。案例研究2.该系统由四个非线性方程组成，并定义为（Grau-Snchez，Grau，Noguera，2011; Koupaei&Hosseini，2015; Sharma Arora，2013）如下。Tawhid，2017; Verschelde，Verlinden，&Cools，1994）。最后通过实例验证了算法的有效性。这个例子由六个非线性方程组成，可以描述如下。x2x2¼1;x2x21;.！>x5x3x6x3¼c2;ð14Þx i-cos 2 x i-x j1/4;1 6i 6 4：131312第1页>x5x1x2x6x2x2¼c3;：> 3 4得到了这种情况下的最优解LQPSO拥有最好的产生最差和标准的除法值。DEMBO发现这个系统案例研究3. 以下系统被称为神经生理学应用实例（Abdollahi等人，2013; Ibrahim&12上午Ibrahim，文学硕士Tawhid/ Journal of Computational Design and Engineering 6（2019）354363¼¼其中-106 x i≤ 10; i 1/4 1;.. . 6.