设Z是整数集,在Z上定义二元运算*为a*b=a+b+a·b,其中+和·是数的加法和乘法,则代数系统<Z,*>的幺元是
时间: 2024-03-31 09:37:55 浏览: 24
代数系统<Z,*>的幺元是满足对于任意元素a∈Z,都有a*e=e*a=a的元素e。
因此,我们需要找到一个元素e,使得对于任意的a∈Z,都有a*e=e*a=a。
设e是<Z,*>的幺元,则对于任意的a∈Z,都有a*e=a+e+a·e=a。
移项可得a·e+e=0,再移项可得e·(a+1)=0。
因此,如果存在一个元素e是<Z,*>的幺元,那么e必须满足e·(a+1)=0对于所有的a∈Z都成立。
取a=0得到e·1=0,即e=0是一个可能的幺元。
验证e=0是否确实是幺元:
对于任意的a∈Z,有a*0=a+0+a·0=a,因此0是<Z,*>的幺元。
因此,<Z,*>的幺元是0。
相关问题
当G是整数集时,证明G对以下规定的运算作成群:a0b=a+b+5
首先需要验证运算的封闭性,即对于任意的 a, b ∈ G,a0b ∈ G。根据运算规则,a0b = a + b + 5,因为整数集是封闭的,所以 a + b ∈ G,再加上常数 5 也在 G 中,因此 a0b ∈ G,运算是封闭的。
其次,需要验证运算的结合律,即对于任意的 a, b, c ∈ G,有 (a0b)0c = a0(b0c)。由于运算规则中只有加法和常数 5,因此有:
(a0b)0c = (a + b + 5) + c + 5 = a + b + c + 10
a0(b0c) = a + (b + c + 5) + 5 = a + b + c + 10
因此,有 (a0b)0c = a0(b0c),运算是结合的。
然后需要找到单位元素 e,使得对于任意的 a ∈ G,有 a0e = e0a = a。根据运算规则,a0e = a + e + 5 = a,因此有 e = -5,即 -5 是单位元素。对于任意的 a ∈ G,有 a0(-5) = (-5)0a = a,因此运算有单位元素。
最后,需要找到每个元素的逆元素。对于任意的 a ∈ G,需要找到一个元素 b ∈ G,使得 a0b = b0a = e。根据运算规则,a0b = a + b + 5,因此有 a + b + 5 = -5,即 b = -10 - a。因此,-10 - a 是 a 的逆元素。对于任意的 a ∈ G,有 a0(-10 - a) = (-10 - a)0a = -5,因此运算有逆元素。
综上所述,整数集对于运算 a0b = a + b + 5 构成一个群。
用java求两个整数之和,用println输出形式为a+b=c
好的,以下是Java语言实现两个整数之和并输出形式为a+b=c的程序示例:
```java
import java.util.Scanner;
public class Main {
public static void main(String[] args) {
int a, b, sum;
Scanner input = new Scanner(System.in);
System.out.print("请输入两个整数:\n");
a = input.nextInt();
b = input.nextInt();
sum = a + b;
System.out.println(a + "+" + b + "=" + sum);
}
}
```
程序中同样使用了Java的Scanner类实现了用户输入,再通过定义的变量和运算符实现两个整数之和,并最终输出结果。输出的形式为a+b=c,其中加号和等号均使用字符串连接符“+”连接。