Let U ∼ U[0, 1] and V ∼ U[0, 1] be independent and a ∈ (0, 1). For Y = U1/a and Z = V 1/(1−a), calculate P  Y Y + Z ≤ t, Y + Z ≤ 1  for any t ∈ (0, 1)

首先，我们可以通过变量替换的方法，将 Y 和 Z 的分布转化为服从 Beta 分布。具体而言，设 X = U/(U+V)，则 X 服从 Beta(a,1-a) 分布。接下来，我们有：

Y = U1/a = (XU)1/a = X1/a * U1/a

Z = V1/(1-a) = (XV)1/(1-a) = (1-X)1/(1-a) * V1/(1-a)

因此，Y 和 Z 的商也就是：

Y/Z = (X1/a * U1/a) / (1-X)1/(1-a) * V1/(1-a) = (X/U)1/a / (1-X/V)1/(1-a)

为了方便计算，我们可以令 W = Y/(Y+Z)，则有 W = Y/(Y+Z) = Y/(X1/a * U1/a + (1-X)1/(1-a) * V1/(1-a))。进一步地，我们可以将 W 的分布转化为：

W = Y/(Y+Z) = X1/a * U1/a / [X1/a * U1/a + (1-X)1/(1-a) * V1/(1-a)]

因此，W 的分布也是 Beta(a,1-a) 分布。接下来，我们可以计算所需的概率：

P(Y/(Y+Z) ≤ t, Y+Z ≤ 1) = P(W ≤ t, Y+Z ≤ 1)

= ∫∫I(W≤t, Y+Z≤1)fW(w)fY(y)fZ(z)dydzdw

其中，fW(w)、fY(y) 和 fZ(z) 分别是 W、Y 和 Z 的概率密度函数。由于 Y 和 Z 是独立的，因此 fY(y)fZ(z) = fY(y) fZ(z)。代入上式并进行变量替换，我们有：

P(Y/(Y+Z) ≤ t, Y+Z ≤ 1) = ∫∫I(w≤t, y+z≤1)fW(w)fY(y)fZ(z)dydzdw

= ∫∫I(w≤t, y+z≤1)x^(a-1) (1-x)^(-a) (a/y)^(a-1) (1-a)/(1-y)^2 (a/z)^(a-1) (1-a)/(1-z)^2 dydzdw

= ∫t0∫0(1-w)(1-w/t)^(a-1) (a/y)^(a-1) (1-a)/(1-y)^2 (a/(1-w))^(a-1) (1-a)/(1-(1-w)/t)^2 dydzdw

= ∫t0∫0(1-w)(1-w/t)^(a-1) (a/y)^(a-1) (1-a)/(1-y)^2 (a/(1-w))^(a-1) (1-a)/(w/t)^2 dydzdw

= t^(2-2a) ∫t0∫0(1-w/t)^(a-1) (y/w)^a-1 (1-y)^(1-a)/(1-w)^(2a-2) dydzdw

= t^(2-2a) ∫t0 (1-w/t)^(a-1) [(1-w/t)^a - w^(a-1) (1-t)^(a-1) B(w/t,a,1-a)]/(1-w)^(2a-2) dw

其中，B(·,·,·) 表示 Beta 函数。最后，我们可以使用数值方法进行积分计算，从而得到所需的概率值。