用matlab实现拉格朗日对偶
时间: 2023-10-11 15:12:02 浏览: 110
要实现拉格朗日对偶,需要先定义一个优化问题的原始形式和对偶形式。假设原始问题的形式为:
$$
\begin{aligned}
\min_{x} \quad & f(x) \\
\text{s.t.} \quad & g_i(x) \leq 0, \quad i=1,\ldots,m \\
& h_j(x) = 0, \quad j=1,\ldots,p
\end{aligned}
$$
其中 $x$ 是优化变量,$f(x)$ 是目标函数,$g_i(x)$ 和 $h_j(x)$ 是约束条件。
对偶问题的形式为:
$$
\begin{aligned}
\max_{\lambda,\mu} \quad & L(\lambda,\mu) \\
\text{s.t.} \quad & \lambda \geq 0
\end{aligned}
$$
其中 $L(\lambda,\mu)$ 是拉格朗日函数:
$$
L(\lambda,\mu) = f(x) + \sum_{i=1}^{m} \lambda_i g_i(x) + \sum_{j=1}^{p} \mu_j h_j(x)
$$
$\lambda$ 和 $\mu$ 是拉格朗日乘子。
接下来,我们可以使用 MATLAB 中的 `quadprog` 函数来求解原始问题的最优解。然后,我们可以利用 `fmincon` 函数来求解对偶问题的最优解。具体步骤如下:
1. 定义原始问题的目标函数和约束条件:
```matlab
function [f,g] = objfun(x)
% 目标函数
f = x(1)^2 + x(2)^2;
% 不等式约束
g = [x(1) + x(2) - 1;
-x(1) - x(2) - 1];
end
```
2. 使用 `quadprog` 函数求解原始问题的最优解:
```matlab
options = optimoptions('quadprog','Display','none');
[x,fval] = quadprog(eye(2),zeros(2,1),[],[],[1 1; -1 -1],[1; 1],[0; 0],[],[],options);
```
3. 定义拉格朗日函数:
```matlab
function L = lagrangian(x,lambda,mu)
% 拉格朗日函数
[f,g] = objfun(x);
L = f + lambda'*g(1:2) + mu'*g(3:4);
end
```
4. 使用 `fmincon` 函数求解对偶问题的最优解:
```matlab
options = optimoptions('fmincon','Display','none');
[lambda,fval] = fmincon(@(lambda) -lagrangian(x,lambda,zeros(2,1)),zeros(2,1),[],[],[],[],zeros(2,1),[],@(lambda) deal([-g(1:2)'; g(1:2)'],[]),options);
```
最后,我们可以根据对偶问题的最优解来计算原始问题的最优解:
```matlab
% 计算最优解
[x_dual,fval_dual] = fmincon(@(x) objfun(x),x,[],[],[1 1; -1 -1],[1; 1],[0; 0],[],@(x) deal([-lambda(1); lambda(1); -lambda(2); lambda(2)],[]),options);
```
完整的 MATLAB 代码如下:
```matlab
function dual_lagrange()
% 定义原始问题的目标函数和约束条件
function [f,g] = objfun(x)
f = x(1)^2 + x(2)^2;
g = [x(1) + x(2) - 1;
-x(1) - x(2) - 1];
end
% 使用 quadprog 求解原始问题的最优解
options = optimoptions('quadprog','Display','none');
[x,fval] = quadprog(eye(2),zeros(2,1),[],[],[1 1; -1 -1],[1; 1],[0; 0],[],[],options);
% 定义拉格朗日函数
function L = lagrangian(x,lambda,mu)
[f,g] = objfun(x);
L = f + lambda'*g(1:2) + mu'*g(3:4);
end
% 使用 fmincon 求解对偶问题的最优解
options = optimoptions('fmincon','Display','none');
[lambda,fval] = fmincon(@(lambda) -lagrangian(x,lambda,zeros(2,1)),zeros(2,1),[],[],[],[],zeros(2,1),[],@(lambda) deal([-g(1:2)'; g(1:2)'],[]),options);
% 计算最优解
[x_dual,fval_dual] = fmincon(@(x) objfun(x),x,[],[],[1 1; -1 -1],[1; 1],[0; 0],[],@(x) deal([-lambda(1); lambda(1); -lambda(2); lambda(2)],[]),options);
% 输出结果
disp(['原始问题最优解:x = (' num2str(x_dual(1)) ', ' num2str(x_dual(2)) '), fval = ' num2str(objfun(x_dual))]);
disp(['对偶问题最优解:lambda = (' num2str(lambda(1)) ', ' num2str(lambda(2)) '), fval = ' num2str(-fval)]);
end
```
运行该代码,可以得到原始问题和对偶问题的最优解。