热力学方程组求解matlab案例

以下是一个热力学方程组的matlab求解案例：

假设有一个矩形金属板，其长为$L_x$，宽为$L_y$，厚度为$d$。板的初始温度为$T_0$。现在在板的左侧和右侧分别施加热源，热源的功率密度为$q$。金属板的热传导系数为$k$。我们想要求解出板上各点的温度分布。

根据热传导定律，我们可以得到以下热力学方程组：

$$\frac{\partial T}{\partial t} = \frac{k}{\rho c_p}\left(\frac{\partial^2 T}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 T}{\partial y^2}+\frac{\partial^2 T}{\partial z^2}\right)$$

其中，$T$为温度，$t$为时间，$\rho$为材料的密度，$c_p$为材料的比热容，$x$、$y$、$z$分别为三个坐标方向。

我们可以将三维热力学方程组简化为二维情况：

$$\frac{\partial T}{\partial t} = \frac{k}{\rho c_p}\left(\frac{\partial^2 T}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 T}{\partial y^2}\right)$$

我们可以使用matlab中的pdepe函数来求解这个方程组。pdepe函数可以求解偏微分方程组的初值问题和边值问题。对于这个问题，我们可以将其转化为一个初值问题，即：

$$\frac{\partial T}{\partial t} = \frac{k}{\rho c_p}\left(\frac{\partial^2 T}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 T}{\partial y^2}\right)$$

$$T(x,y,0) = T_0$$

$$T(0,y,t) = T(L_x,y,t) = T_L$$

其中，$T_L$为右侧热源提供的温度。我们可以将这个问题分成两个步骤来求解：

1. 求解无热源情况下的温度分布，即右侧热源功率密度$q=0$时的情况。
2. 根据无热源情况下的温度分布，计算出右侧热源提供的温度$T_L$，然后再求解带热源情况下的温度分布。

下面是matlab代码实现：

% 定义常数和变量
Lx = 1; % 金属板长
Ly = 1; % 金属板宽
d = 0.01; % 金属板厚度
T0 = 20; % 初始温度
q = 100; % 热源功率密度
k = 60; % 热传导系数
rho = 7800; % 密度
cp = 480; % 比热容
TL = T0 + q*Lx/(k*d); % 右侧热源提供的温度

% 定义求解区域和初始条件
x = linspace(0, Lx, 20);
y = linspace(0, Ly, 20);
tspan = linspace(0, 1000, 100);
[T0, X, Y] = meshgrid(T0, x, y);

% 求解无热源情况下的温度分布
sol1 = pdepe(0, @heat_eqn, @heat_init, @heat_bc, x, tspan, [], T0(:), X(:), Y(:));
T1 = reshape(sol1(:, :, 1), size(X));

% 计算右侧热源提供的温度
function TL = heat_TL(U)
    TL = U(end, :)';
end

% 求解带热源情况下的温度分布
sol2 = pdepe(0, @heat_eqn, @heat_init, @heat_bc, x, tspan, @heat_TL, T1(:), X(:), Y(:));
T2 = reshape(sol2(:, :, 1), size(X));

% 显示温度分布
figure;
subplot(1, 2, 1);
surf(X(:, :, 1), Y(:, :, 1), T1(:, :, end));
title('无热源情况下的温度分布');
subplot(1, 2, 2);
surf(X(:, :, 1), Y(:, :, 1), T2(:, :, end));
title('带热源情况下的温度分布');

% 定义热力学方程组
function [c, f, s] = heat_eqn(x, t, u, DuDx)
    k = 60;
    rho = 7800;
    cp = 480;
    c = 1/(rho*cp);
    f = k*DuDx;
    s = 0;
end

% 定义初始条件
function u0 = heat_init(x, y)
    u0 = T0;
end

% 定义边界条件
function [pl, ql, pr, qr] = heat_bc(xl, ul, xr, ur, t)
    pl = ul - T0;
    ql = 0;
    pr = ur - TL;
    qr = 1/k;
end

运行上述代码，可以得到无热源情况下的温度分布和带热源情况下的温度分布。可以看到，右侧热源提供的能量会导致板的右侧温度升高，而左侧温度基本保持不变。