01背包问题动态规划总结

01背包问题是动态规划中的一个经典问题，它的解法也非常经典，下面是我对该问题的动态规划总结。

1. 状态定义

定义一个二维数组dp[i][j]，其中i表示当前考虑到第i个物品，j表示当前背包容量为j，dp[i][j]表示在前i个物品中，背包容量为j时的最大价值。

2. 状态转移方程

对于每个物品，我们可以选择将其放入背包，也可以选择不放入背包，因此状态转移方程如下：

如果不将第i个物品放入背包，则
dp[i][j] = dp[i - 1][j]
即前i-1个物品已经在容量为j的背包中的最大价值就是dp[i - 1][j]。

如果将第i个物品放入背包，则
dp[i][j] = dp[i-1][j-w[i]] + v[i]
即前i-1个物品在容量为j-w[i]的背包中的最大价值加上第i个物品的价值v[i]。

最终的状态转移方程为：
dp[i][j] = max(dp[i-1][j], dp[i-1][j-w[i]] + v[i])

3. 边界条件

当物品数量为0时，dp[0][j]都等于0；当背包容量为0时，dp[i][0]都等于0。

4. 求解最优解

最终的最大价值为dp[n][W]，其中n表示物品数量，W表示背包容量。

5. 代码实现

以下是01背包问题的动态规划代码实现，其中w和v分别表示物品的重量和价值，n和W表示物品数量和背包容量：

def knapsack(w, v, n, W):
    dp = [[0] * (W+1) for _ in range(n+1)]
    for i in range(1, n+1):
        for j in range(1, W+1):
            if j < w[i-1]:
                dp[i][j] = dp[i-1][j]
            else:
                dp[i][j] = max(dp[i-1][j], dp[i-1][j-w[i-1]] + v[i-1])
    return dp[n][W]