牛顿迭代法算根号二matlab

牛顿迭代法是一种求解非线性方程的方法，可以用来计算根号二。

首先，我们需要定义函数 f(x) = x^2 - 2，然后选择一个初始值 x0，比如 x0 = 1。

随后，我们可以使用以下公式进行迭代计算，直到达到所需的精度：

x_(n+1) = x_n - f(x_n) / f'(x_n)

其中，f'(x) 表示函数 f(x) 的导数。

在 Matlab 中，可以使用如下代码实现：

f = @(x) x^2 - 2;
df = @(x) 2*x;
x0 = 1;
tolerance = 1e-8;

while abs(f(x0)) > tolerance
    x0 = x0 - f(x0) / df(x0);
end

disp(x0);

运行结果为 1.414213562373095，即根号二的近似值。

相关问题

用matlab写一段代码，实现牛顿迭代法，求解方程x²-C=0，求出根号C

以下是使用 Matlab 实现牛顿迭代法求解方程 $x^2-C=0$ 的代码：

C = 16; % 定义常数 C
x0 = C/2; % 定义初始值 x0
tol = 1e-6; % 定义容差
err = 1; % 初始化误差
iter = 0; % 初始化迭代次数

while err > tol
    x = x0 - (x0^2-C)/(2*x0); % 使用牛顿迭代公式计算下一个值
    err = abs(x-x0); % 计算误差
    x0 = x; % 更新 x0
    iter = iter + 1; % 迭代次数加一
end

fprintf('使用牛顿迭代法求解 x^2-%d=0，得到根号%d，迭代次数为%d\n', C, x, iter);

其中，`C` 表示方程中的常数，`x0` 是初始值，`tol` 是容差，`err` 是当前迭代的误差，`iter` 是迭代次数。在 while 循环中，每次使用牛顿迭代公式计算下一个值，并更新误差和迭代次数。当误差小于等于容差时，停止迭代，并输出结果。

请注意，本代码仅能求解方程 $x^2-C=0$，如果要求解其他类型的方程，请更改迭代公式。

在MATLAB中如何实现牛顿迭代法以高精确度求解根号n？请说明算法的关键步骤和精确度控制方法。

牛顿迭代法是一种高效的数值计算方法，用于求解方程的根。在MATLAB中实现牛顿迭代法以高精确度求解根号n，可以通过以下关键步骤来完成：

参考资源链接：[MATLAB实现牛顿迭代法求解根号n精确算法](https://wenku.csdn.net/doc/76efssxt8m?spm=1055.2569.3001.10343)

首先，我们需要定义一个目标函数，这里的目标函数是 f(x) = x^2 - n，因为我们要求解的是根号n，即求解 f(x) = 0 的解。接着，我们还需要定义该函数的导数，即 f'(x) = 2x。这是牛顿迭代法中的关键公式：
x_{k+1} = x_k - f(x_k)/f'(x_k)

在MATLAB中，我们可以使用以下代码来实现这个算法：

function root = newton_sqrt(n, tol, max_iter)
% n: 被开方数
% tol: 容许误差，即精确度控制参数
% max_iter: 最大迭代次数，用于防止无限循环
x = n / 2; % 选择一个合理的初始估计值
for i = 1:max_iter
fx = x^2 - n;
dfx = 2 * x;
if abs(fx) < tol || dfx == 0
% 达到足够精确或导数接近零时停止迭代
root = x;
return;
end
x = x - fx / dfx;
end
root = x;
end

在上述代码中，我们首先定义了一个函数 newton_sqrt，它接受三个参数：被开方数 n，容许误差 tol 和最大迭代次数 max_iter。选择一个合理的初始估计值 x（比如 n / 2）作为起点，然后开始迭代过程。在每次迭代中，计算当前 x 值的函数值 fx 和导数值 dfx，然后按照牛顿迭代公式更新 x。迭代将继续进行，直到满足容许误差 tol 或达到最大迭代次数 max_iter。

精确度控制是通过 tol 参数实现的。当连续两次迭代的函数值之差小于 tol 时，我们可以认为已经达到了足够的精确度，此时停止迭代。同时，为了避免函数的导数接近零，从而导致除以零的错误，我们还需要检查 dfx 是否为零。

为了更深入地了解牛顿迭代法以及如何在MATLAB中实现它，我推荐查看这份资料：《MATLAB实现牛顿迭代法求解根号n精确算法》。该资料不仅提供了算法的实现细节，还包括了精确度控制和算法性能优化的深入讨论，是学习和实践牛顿迭代法的良好资源。

参考资源链接：[MATLAB实现牛顿迭代法求解根号n精确算法](https://wenku.csdn.net/doc/76efssxt8m?spm=1055.2569.3001.10343)