牛顿迭代法算根号二matlab
时间: 2023-10-16 07:29:24 浏览: 73
牛顿迭代法是一种求解非线性方程的方法,可以用来计算根号二。
首先,我们需要定义函数 f(x) = x^2 - 2,然后选择一个初始值 x0,比如 x0 = 1。
随后,我们可以使用以下公式进行迭代计算,直到达到所需的精度:
x_(n+1) = x_n - f(x_n) / f'(x_n)
其中,f'(x) 表示函数 f(x) 的导数。
在 Matlab 中,可以使用如下代码实现:
```matlab
f = @(x) x^2 - 2;
df = @(x) 2*x;
x0 = 1;
tolerance = 1e-8;
while abs(f(x0)) > tolerance
x0 = x0 - f(x0) / df(x0);
end
disp(x0);
```
运行结果为 1.414213562373095,即根号二的近似值。
相关问题
牛顿迭代法求解方程组 matlab作图
牛顿迭代法是一种用于求解方程的数值方法,它通过不断逼近方程的根来得到解。在Matlab中,可以使用牛顿迭代法求解方程组,并通过作图来观察解的收敛情况。
首先,我们需要定义方程组。假设我们要求解的方程组为:
f1(x, y) = 0
f2(x, y) = 0
其中,x和y是未知数,f1和f2是两个函数。
在Matlab中,可以使用符号计算工具箱来定义函数。假设我们要求解的方程组为:
f1(x, y) = x^2 + y^2 - 4
f2(x, y) = x - y
可以使用以下代码定义这两个函数:
syms x y
f1 = x^2 + y^2 - 4;
f2 = x - y;
接下来,我们需要定义初始点。初始点的选择对于牛顿迭代法的收敛性很重要。可以选择一个合适的初始点,例如(1, 1)。
x0 = 1;
y0 = 1;
然后,我们可以使用牛顿迭代法进行迭代计算。迭代的过程如下:
1. 计算方程组的雅可比矩阵Jacobian:
J = jacobian([f1, f2], [x, y]);
2. 计算方程组在当前点的函数值:
F = [subs(f1, [x, y], [x0, y0]);
subs(f2, [x, y], [x0, y0])];
3. 计算方程组在当前点的雅可比矩阵值:
J_val = subs(J, [x, y], [x0, y0]);
4. 计算下一个点的值:
delta = -J_val \ F;
x1 = x0 + delta(1);
y1 = y0 + delta(2);
5. 更新当前点的值:
x0 = x1;
y0 = y1;
6. 重复步骤2-5,直到满足收敛条件。
最后,我们可以使用Matlab的绘图函数来作图。可以使用meshgrid函数生成一个网格,并计算方程组在网格上的函数值。然后,可以使用contour函数绘制等高线图。
以下是一个示例代码:
syms x y
f1 = x^2 + y^2 - 4;
f2 = x - y;
x0 = 1;
y0 = 1;
tolerance = 1e-6;
max_iterations = 100;
x_vals = [];
y_vals = [];
for i = 1:max_iterations
J = jacobian([f1, f2], [x, y]);
F = [subs(f1, [x, y], [x0, y0]);
subs(f2, [x, y], [x0, y0])];
J_val = subs(J, [x, y], [x0, y0]);
delta = -J_val \ F;
x1 = x0 + delta(1);
y1 = y0 + delta(2);
if norm([x1 - x0; y1 - y0]) < tolerance
break;
end
x0 = x1;
y0 = y1;
x_vals = [x_vals, x0];
y_vals = [y_vals, y0];
end
[X, Y] = meshgrid(-5:0.1:5, -5:0.1:5);
Z1 = subs(f1, [x, y], {X, Y});
Z2 = subs(f2, [x, y], {X, Y});
figure;
contour(X, Y, Z1, [0 0], 'r');
hold on;
contour(X, Y, Z2, [0 0], 'b');
plot(x_vals, y_vals, 'ko-');
xlabel('');
ylabel('y');
legend('f1(x, y) = ', 'f2(x, y) = 0', 'Iteration path
牛顿迭代法求塔径matlab程序
以下是使用牛顿迭代法求解圆柱体底面积的Matlab程序:
```matlab
function [d] = newton_raphson(d0, A, V)
% d0: 初始直径
% A: 底面积
% V: 体积
% 定义函数f和f的导数df
f = @(d) pi * d^2 / 4 - A;
df = @(d) pi * d / 2;
% 定义误差和最大迭代次数
epsilon = 1e-6;
max_iter = 100;
% 初始化迭代变量
d = d0;
iter = 0;
% 开始迭代
while abs(pi * d^2 / 4 * d - V) > epsilon && iter < max_iter
d = d - (pi * d^2 / 4 - A) / (pi * d / 2);
iter = iter + 1;
end
% 输出结果
if iter == max_iter
disp('达到最大迭代次数,未能收敛');
else
fprintf('直径为%.4f\n', d);
end
end
```
在这个程序中,我们定义了一个函数$f(d)=\frac{\pi d^2}{4}-A$,其中$d$是圆柱体的直径,$A$是底面积。我们还定义了$f$的导数$df(d)=\frac{\pi d}{2}$。然后我们使用牛顿迭代法来求解方程$f(d)=0$,也就是求解圆柱体的直径$d$。迭代的过程中,我们使用$d_{n+1}=d_n-\frac{f(d_n)}{f'(d_n)}$来更新$d$的值,直到$f(d)$的值小于某个给定的误差$\epsilon$或者达到最大迭代次数$max\_iter$。
使用这个程序,你可以输入圆柱体的底面积$A$和体积$V$,以及一个初始的直径$d_0$,然后程序会输出使用牛顿迭代法求解得到的圆柱体的直径$d$。
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