给定一个由N行数字组成的数字三角形，如图所示。设计一个算法计算出从三角形的顶至底的一条路径，每一步可沿左斜线向下或右斜线向下走,使该路径经过的数字总和最大.

这是一个经典的动态规划问题，可以使用递推方法求解。从底部开始向上推导，每一层的数字与其下一层相邻的两个数字中较大的那个相加，最终得到的就是从顶部到底部经过的数字总和最大的路径。

具体实现的过程如下：

1. 将数字三角形存储在一个二维数组中。

2. 从倒数第二层开始，逐层向上计算每个数字的最大路径和，使用递推公式 dp[i][j] = max(dp[i+1][j], dp[i+1][j+1]) + triangle[i][j]。

3. 最终得到的 dp[0][0] 就是从顶部到底部经过的数字总和最大的路径。

下面是一个Python代码的示例：

def max_path_sum(triangle):
    n = len(triangle)
    dp = [[0] * n for _ in range(n)]
    # 初始化最后一行
    for j in range(n):
        dp[n-1][j] = triangle[n-1][j]
    # 递推计算每个数字的最大路径和
    for i in range(n-2, -1, -1):
        for j in range(i+1):
            dp[i][j] = max(dp[i+1][j], dp[i+1][j+1]) + triangle[i][j]
    return dp[0][0]

其中 `triangle` 是一个由N行数字组成的数字三角形，函数返回的是从顶部到底部经过的数字总和最大的路径。

相关问题

给定一个由n行数字组成的数字三角形如下图所示。试设计一个算法，计算出从三角形的顶至底的一条路径，使该路径经过的数字总和最大。

### 回答1：
题目要求设计一个算法，计算由n行数字组成的数字三角形，如下图所示。算出从三角形的顶至底的一条路径，使该路径经过的数字总和最大，并输出该路径经过的数字总和最大值。

该算法可以使用动态规划来求解，从三角形的底部开始逐层往上计算，每一层的数字都和下层的数字有连接关系，可以选出该层相邻两个数字中较大的那一个，加上该数字本身，得到到达三角形顶部的某个数字的最大值，最后得到的就是数字三角形从顶部至底部的一条最优路径，以及路径上的数字总和最大值。

### 回答2：
题目描述：

给定一个由n行数字组成的数字三角形，试设计一个算法，计算出从三角形的顶至底的一条路径，使该路径经过的数字总和最大。

算法思路：

首先，我们需要理解题目要求，我们需要找到一条路径，使得路径经过的数字总和最大，因此，我们需要寻找一个优化目标。因为数字三角形的特殊结构，使得我们无法使用贪心算法，即每次找到当前最大值的路径进行选择。因此，我们采用动态规划算法。

具体地，我们定义一个状态 dp[i][j]，表示从三角形顶部到数字三角形第i行第j个节点的路径的数字总和最大值。因此，我们需要在dp数组中，保存每个节点的最大值。在求解最终的结果时，我们需要对整个dp数组进行扫描，最终输出dp[n-1][1]，即数字三角形顶部到底部的最大数字总和。

接下来是状态转移方程的推导，我们对于每个节点都会有下一步的选择，因此，我们可以采用下一步选择的思维方式对状态转移方程进行推导。对于第i行第j个节点，共有两个可能的下一步选择，即向下或向右下方。因此，我们需要考虑两个方向节点对应的状态转移方程，在这两个方向的状态转移方程中，选择最大值作为当前节点的最大值。

具体表达式如下：

dp[i][j] = max(dp[i-1][j-1],dp[i-1][j])+triangle[i][j];

其中，dp[i][j]表示从三角形顶部到数字三角形第i行第j个节点的路径的数字总和最大值，triangle[i][j]表示数字三角形第i行第j个节点的数字大小。因此，我们需要使用动态规划的方法根据状态转移方程进行求解，将dp[n-1][1]作为最终的结果输出即可。

算法分析：

时间复杂度：使用动态规划算法，需要对整个数字三角形进行扫描，因此，时间复杂度为O(n^2)。

空间复杂度：使用二维数组dp[i][j]保存每个节点的最大值，因此，空间复杂度为O(n^2)。

实现代码：

/**
* @param triangle:
* @return: The minimum path sum from top to bottom
*/
int minimumTotal(vector<vector<int>> &triangle) {
int n = triangle.size();

vector<vector<int>> dp(n,vector<int>(n,0));
dp[0][0] = triangle[0][0];

for(int i=1;i<n;++i){
for(int j=0;j<=i;++j){
if(j == 0){
dp[i][j] = dp[i-1][j]+triangle[i][j];
}else if(j == i){
dp[i][j] = dp[i-1][j-1]+triangle[i][j];
}else{
dp[i][j] = max(dp[i-1][j-1],dp[i-1][j])+triangle[i][j];
}
}
}

int res = INT_MIN;
for(int j=0;j<n;++j){
res = max(res,dp[n-1][j]);
}

return res;
}

### 回答3：
对于这道题，我们可以采用动态规划的思想来解决。

首先，我们假设从顶点开始，第i行第j个数为a[i][j]，那么从顶点到第i行第j个数的路径的最大值为f[i][j]。显然，f[1][1] = a[1][1]。

接下来，我们考虑f[i][j]的计算方式。由于只能向下或者右下走，所以，到达f[i][j]的最大值只能由f[i-1][j]或者f[i-1][j-1]转移而来。因此，我们得出递推公式：

f[i][j] = max(f[i-1][j], f[i-1][j-1]) + a[i][j]

最后，我们需要找到路径经过的数字总和最大值，因此，我们只需要遍历f[n][1]到f[n][n]这一行中的最大值即可。

至此，我们得到了完整的算法思路，接下来是具体的代码实现：

int a[MAXN][MAXN], f[MAXN][MAXN];

int maxSum(int n)
{
f[1][1] = a[1][1];
for (int i=2; i<=n; i++) {
for (int j=1; j<=i; j++) {
if (j==1) f[i][j] = f[i-1][j] + a[i][j];
else if (j==i) f[i][j] = f[i-1][j-1] + a[i][j];
else f[i][j] = max(f[i-1][j], f[i-1][j-1]) + a[i][j];
}
}
int ans = 0;
for (int i=1; i<=n; i++) {
if (f[n][i] > ans) ans = f[n][i];
}
return ans;
}

在这段代码中，我们利用了两层循环对f[i][j]的值进行计算，利用第三个循环来遍历f[n][1]到f[n][n]，找出最大值。

综上所述，我们通过简单的动态规划算法，就能轻松地解决数字三角形问题，算法时间复杂度为O(n^2)。

给定一个由 n行数字组成的数字三角形如下图所示。试设计一个算法，计算出从三角形 的顶至底的一条路径(每一步可沿左斜线向下或右斜线向下)，使该路径经过的数字总和最大。

这是一个动态规划问题。我们可以从三角形的底部开始，逐层向上计算每个数字的最大路径和。具体做法是，对于每个数字，计算它下一层左下角和右下角数字的最大路径和，然后将该数字和两个路径和中较大的一个相加，得到当前数字的最大路径和。最后，顶部数字的最大路径和即为所求。

具体实现时，可以使用一个二维数组来存储每个数字的最大路径和，从底部开始逐层计算，最后返回顶部数字的最大路径和即可。