问题描述: 给定一个有n行数字组成的数字三角形. 试设计一个算法, 计算出从三角形
时间: 2023-10-04 20:02:09 浏览: 65
问题描述:给定一个有n行数字组成的数字三角形。试设计一个算法,计算出从三角形的顶部到底部的最短路径和。
解答:我们可以使用动态规划来解决这个问题。定义一个二维数组dp,其中dp[i][j]表示从三角形的第i行第j列的数字出发到三角形底部的最短路径和。
首先,我们可以初始化dp数组的最后一行,即dp[n-1][j] = nums[n-1][j],其中nums表示给定的数字三角形。这是因为三角形的最后一行到底部的最短路径和就是它们自身。
然后,我们从倒数第二行开始逐行计算dp数组。对于每个位置(i,j),dp[i][j] = nums[i][j] + min(dp[i+1][j], dp[i+1][j+1]),即当前位置的最短路径和等于当前位置的数字加上下一行相邻两个位置中最小的路径和。
最后,dp[0][0]就是我们所求的从三角形顶部到底部的最短路径和。
下面是算法的伪代码表示:
1. 初始化dp[n-1][j] = nums[n-1][j],其中n为三角形的行数。
2. 从倒数第二行开始逐行计算dp数组:
- for i = n-2 to 0:
- for j = 0 to i+1:
- dp[i][j] = nums[i][j] + min(dp[i+1][j], dp[i+1][j+1])
3. 返回dp[0][0]作为结果。
该算法的时间复杂度为O(n^2),其中n为三角形的行数。
相关问题
问题描述: 给定一个有n行数字组成的数字三角形. 试设计一个算法, 计算出从三角形的顶至底的一条路径, 使该路径经过的数字和最大. 算法设计: 对于给定的n行数字组成的三角形, 计算从三角形顶至底的路径经过的数字和的最大值. 数据输入: 第1行数字三角形的行数n, 1<=n<=100. 接下来n行是数字三角形各行中的数字. 所有数字在0~99之间. 结果输出: 第1行中的数是计算出的最大值.
### 回答1:
题目描述:给定一个有n行数字组成的数字三角形。尝试设计一个算法,计算出从三角形顶至底的一条路线,使该路线经过的数字和的值最大。使用该路线经过的数字和及其最大值的计算算法设计:对于给定的n行数字组成的三角形,计算从三角形顶至底的一条路线,使该路线经过的数字和的值最大值。
数据输入:第1行数字三角形的行数n,1<=n<=100。以下n行是数字三角形中各行中的数字。所有数字都在0~99之间。
结果输出:第1行中的数字是计算出的最大值。
### 回答2:
这是一道经典的动态规划问题,我们可以采用自底向上的方法进行求解。首先,定义一个二维数组dp,其中dp[i][j]表示从三角形的第i行第j列出发的到达底部的最大数字和。因为我们要自底向上求解,所以初始值为三角形的最底层数字,即dp[n-1][j]=triangle[n-1][j],其中triangle是给定的数字三角形。
从倒数第二行开始遍历,每一行的每个位置的最大数字和都是从下面相邻的两个位置中选取一个较大值与该位置的数字相加得到的,即dp[i][j]=max(dp[i+1][j], dp[i+1][j+1])+triangle[i][j]。依此类推,直到遍历到第一行,并返回dp[0][0]作为最大数字和的值。
最后,算法时间复杂度为O(n^2),空间复杂度为O(n^2),即需要一个n×n的数组来存储中间计算结果。当然,我们还可以通过滚动数组的方式将空间复杂度优化到O(n)。
### 回答3:
问题分析:
这道题目就是一个典型的动态规划问题,具有明显的最优子结构和重复子问题特点。我们只需要从三角形的底层开始,逐一计算每一行每个数字到底部的最大和,最后得到三角形顶部到底部的最大和。
算法设计:
1. 读取数字三角形的行数n和各行中的数字,存储到一个二维数组中;
2. 从三角形底部开始,逐行向上计算每个数字到底部的最大和,使用动态规划的思路;
3. 设dp[i][j]表示三角形中第i行第j个数字到底部的最大和,初始化dp[n][j]=triangle[n][j];
4. 对于第i行第j个数字,有两个选项,选择下方数字dp[i+1][j]和dp[i+1][j+1],取其中最大的数字加上该位置的数字triangle[i][j],即 dp[i][j]=max(dp[i+1][j], dp[i+1][j+1])+triangle[i][j];
5. 最后得到的dp[1][1]就是从三角形顶部到底部的最大和。
代码实现:
下面给出Python代码实现:
给定一个由n行数字组成的数字三角形,试设计-一个算法,计算出从三角形的顶至底的一条.\n\n路径,使该路径经过的数字总和最大。
这道题要求设计一个算法,给定一个由n行数字组成的数字三角形,计算出从三角形的顶至底的一条路径,使得路径上经过的数字总和最大,并输出这个最大的数字总和。
可以考虑使用动态规划解决这个问题。首先,定义状态dp[i][j]表示从三角形的顶点走到第i行第j列的数字,所经过的数字总和的最大值。采用自底向上的顺序进行计算,最终得到dp[1][1]就是所求的最大数字总和。
递推式为:dp[i][j] = max(dp[i+1][j], dp[i+1][j+1]) + triangle[i][j],其中triangle[i][j]表示三角形第i行第j列的数字。
计算过程中,可以只使用一维数组dp[j]来表示状态,因为状态转移只涉及到下一层的状态,即dp[j]和dp[j+1]。在每次计算完当前行的状态值后,将dp[j+1]的值更新为dp[j]的值,即可去掉一维。最终,dp[1]即为最大数字总和。
计算路径也很简单,只需要在状态转移时,记录下当前选择的数值是来自左侧还是右侧,最后反向输出记录的路径即可。
对于路径总和最大的问题,可以使用贪心算法来解决。从三角形的顶点开始走,每次在能取到的下一行中选择数字最大的位置走,直至走到底部,即可得到路径总和最大。