给定一个由 n行数字组成的数字三角形如下图所示。试设计一个算法，计算出从三角形 的顶至底的一条路径(每一步可沿左斜线向下或右斜线向下)，使该路径经过的数字总和最大。

这是一个动态规划问题。我们可以从三角形的底部开始，逐层向上计算每个数字的最大路径和。具体做法是，对于每个数字，计算它下一层左下角和右下角数字的最大路径和，然后将该数字和两个路径和中较大的一个相加，得到当前数字的最大路径和。最后，顶部数字的最大路径和即为所求。

具体实现时，可以使用一个二维数组来存储每个数字的最大路径和，从底部开始逐层计算，最后返回顶部数字的最大路径和即可。

相关问题

给定一个由n行数字组成的数字三角形如下图所示。试设计一个算法，计算出从三角形的顶至底的一条路径，使该路径经过的数字总和最大。

### 回答1：
题目要求设计一个算法，计算由n行数字组成的数字三角形，如下图所示。算出从三角形的顶至底的一条路径，使该路径经过的数字总和最大，并输出该路径经过的数字总和最大值。

该算法可以使用动态规划来求解，从三角形的底部开始逐层往上计算，每一层的数字都和下层的数字有连接关系，可以选出该层相邻两个数字中较大的那一个，加上该数字本身，得到到达三角形顶部的某个数字的最大值，最后得到的就是数字三角形从顶部至底部的一条最优路径，以及路径上的数字总和最大值。

### 回答2：
题目描述：

给定一个由n行数字组成的数字三角形，试设计一个算法，计算出从三角形的顶至底的一条路径，使该路径经过的数字总和最大。

算法思路：

首先，我们需要理解题目要求，我们需要找到一条路径，使得路径经过的数字总和最大，因此，我们需要寻找一个优化目标。因为数字三角形的特殊结构，使得我们无法使用贪心算法，即每次找到当前最大值的路径进行选择。因此，我们采用动态规划算法。

具体地，我们定义一个状态 dp[i][j]，表示从三角形顶部到数字三角形第i行第j个节点的路径的数字总和最大值。因此，我们需要在dp数组中，保存每个节点的最大值。在求解最终的结果时，我们需要对整个dp数组进行扫描，最终输出dp[n-1][1]，即数字三角形顶部到底部的最大数字总和。

接下来是状态转移方程的推导，我们对于每个节点都会有下一步的选择，因此，我们可以采用下一步选择的思维方式对状态转移方程进行推导。对于第i行第j个节点，共有两个可能的下一步选择，即向下或向右下方。因此，我们需要考虑两个方向节点对应的状态转移方程，在这两个方向的状态转移方程中，选择最大值作为当前节点的最大值。

具体表达式如下：

dp[i][j] = max(dp[i-1][j-1],dp[i-1][j])+triangle[i][j];

其中，dp[i][j]表示从三角形顶部到数字三角形第i行第j个节点的路径的数字总和最大值，triangle[i][j]表示数字三角形第i行第j个节点的数字大小。因此，我们需要使用动态规划的方法根据状态转移方程进行求解，将dp[n-1][1]作为最终的结果输出即可。

算法分析：

时间复杂度：使用动态规划算法，需要对整个数字三角形进行扫描，因此，时间复杂度为O(n^2)。

空间复杂度：使用二维数组dp[i][j]保存每个节点的最大值，因此，空间复杂度为O(n^2)。

实现代码：

/**
* @param triangle:
* @return: The minimum path sum from top to bottom
*/
int minimumTotal(vector<vector<int>> &triangle) {
int n = triangle.size();

vector<vector<int>> dp(n,vector<int>(n,0));
dp[0][0] = triangle[0][0];

for(int i=1;i<n;++i){
for(int j=0;j<=i;++j){
if(j == 0){
dp[i][j] = dp[i-1][j]+triangle[i][j];
}else if(j == i){
dp[i][j] = dp[i-1][j-1]+triangle[i][j];
}else{
dp[i][j] = max(dp[i-1][j-1],dp[i-1][j])+triangle[i][j];
}
}
}

int res = INT_MIN;
for(int j=0;j<n;++j){
res = max(res,dp[n-1][j]);
}

return res;
}

### 回答3：
对于这道题，我们可以采用动态规划的思想来解决。

首先，我们假设从顶点开始，第i行第j个数为a[i][j]，那么从顶点到第i行第j个数的路径的最大值为f[i][j]。显然，f[1][1] = a[1][1]。

接下来，我们考虑f[i][j]的计算方式。由于只能向下或者右下走，所以，到达f[i][j]的最大值只能由f[i-1][j]或者f[i-1][j-1]转移而来。因此，我们得出递推公式：

f[i][j] = max(f[i-1][j], f[i-1][j-1]) + a[i][j]

最后，我们需要找到路径经过的数字总和最大值，因此，我们只需要遍历f[n][1]到f[n][n]这一行中的最大值即可。

至此，我们得到了完整的算法思路，接下来是具体的代码实现：

int a[MAXN][MAXN], f[MAXN][MAXN];

int maxSum(int n)
{
f[1][1] = a[1][1];
for (int i=2; i<=n; i++) {
for (int j=1; j<=i; j++) {
if (j==1) f[i][j] = f[i-1][j] + a[i][j];
else if (j==i) f[i][j] = f[i-1][j-1] + a[i][j];
else f[i][j] = max(f[i-1][j], f[i-1][j-1]) + a[i][j];
}
}
int ans = 0;
for (int i=1; i<=n; i++) {
if (f[n][i] > ans) ans = f[n][i];
}
return ans;
}

在这段代码中，我们利用了两层循环对f[i][j]的值进行计算，利用第三个循环来遍历f[n][1]到f[n][n]，找出最大值。

综上所述，我们通过简单的动态规划算法，就能轻松地解决数字三角形问题，算法时间复杂度为O(n^2)。

问题描述: 给定一个有n行数字组成的数字三角形. 试设计一个算法, 计算出从三角形

问题描述：给定一个有n行数字组成的数字三角形。试设计一个算法，计算出从三角形的顶部到底部的最短路径和。

解答：我们可以使用动态规划来解决这个问题。定义一个二维数组dp，其中dp[i][j]表示从三角形的第i行第j列的数字出发到三角形底部的最短路径和。

首先，我们可以初始化dp数组的最后一行，即dp[n-1][j] = nums[n-1][j]，其中nums表示给定的数字三角形。这是因为三角形的最后一行到底部的最短路径和就是它们自身。

然后，我们从倒数第二行开始逐行计算dp数组。对于每个位置(i,j)，dp[i][j] = nums[i][j] + min(dp[i+1][j], dp[i+1][j+1])，即当前位置的最短路径和等于当前位置的数字加上下一行相邻两个位置中最小的路径和。

最后，dp[0][0]就是我们所求的从三角形顶部到底部的最短路径和。

下面是算法的伪代码表示：

1. 初始化dp[n-1][j] = nums[n-1][j]，其中n为三角形的行数。
2. 从倒数第二行开始逐行计算dp数组：
- for i = n-2 to 0:
- for j = 0 to i+1:
- dp[i][j] = nums[i][j] + min(dp[i+1][j], dp[i+1][j+1])
3. 返回dp[0][0]作为结果。

该算法的时间复杂度为O(n^2)，其中n为三角形的行数。