问题描述: 给定一个有n行数字组成的数字三角形. 试设计一个算法, 计算出从三角形的顶至底的一条路径, 使该路径经过的数字和最大. 算法设计: 对于给定的n行数字组成的三角形, 计算从三角形顶至底的路径经过的数字和的最大值. 数据输入: 第1行数字三角形的行数n, 1<=n<=100. 接下来n行是数字三角形各行中的数字. 所有数字在0~99之间. 结果输出: 第1行中的数是计算出的最大值.

### 回答1：
题目描述：给定一个有n行数字组成的数字三角形。尝试设计一个算法，计算出从三角形顶至底的一条路线，使该路线经过的数字和的值最大。使用该路线经过的数字和及其最大值的计算算法设计：对于给定的n行数字组成的三角形，计算从三角形顶至底的一条路线，使该路线经过的数字和的值最大值。

数据输入：第1行数字三角形的行数n，1<=n<=100。以下n行是数字三角形中各行中的数字。所有数字都在0~99之间。

结果输出：第1行中的数字是计算出的最大值。

### 回答2：
这是一道经典的动态规划问题，我们可以采用自底向上的方法进行求解。首先，定义一个二维数组dp，其中dp[i][j]表示从三角形的第i行第j列出发的到达底部的最大数字和。因为我们要自底向上求解，所以初始值为三角形的最底层数字，即dp[n-1][j]=triangle[n-1][j]，其中triangle是给定的数字三角形。

从倒数第二行开始遍历，每一行的每个位置的最大数字和都是从下面相邻的两个位置中选取一个较大值与该位置的数字相加得到的，即dp[i][j]=max(dp[i+1][j], dp[i+1][j+1])+triangle[i][j]。依此类推，直到遍历到第一行，并返回dp[0][0]作为最大数字和的值。

最后，算法时间复杂度为O(n^2)，空间复杂度为O(n^2)，即需要一个n×n的数组来存储中间计算结果。当然，我们还可以通过滚动数组的方式将空间复杂度优化到O(n)。

### 回答3：
问题分析：

这道题目就是一个典型的动态规划问题，具有明显的最优子结构和重复子问题特点。我们只需要从三角形的底层开始，逐一计算每一行每个数字到底部的最大和，最后得到三角形顶部到底部的最大和。

算法设计：

1. 读取数字三角形的行数n和各行中的数字，存储到一个二维数组中；

2. 从三角形底部开始，逐行向上计算每个数字到底部的最大和，使用动态规划的思路；

3. 设dp[i][j]表示三角形中第i行第j个数字到底部的最大和，初始化dp[n][j]=triangle[n][j]；

4. 对于第i行第j个数字，有两个选项，选择下方数字dp[i+1][j]和dp[i+1][j+1]，取其中最大的数字加上该位置的数字triangle[i][j]，即 dp[i][j]=max(dp[i+1][j], dp[i+1][j+1])+triangle[i][j]；

5. 最后得到的dp[1][1]就是从三角形顶部到底部的最大和。

代码实现：

下面给出Python代码实现：