基于分支限界的n后问题的伪代码

以下是基于分支限界算法求解n后问题的伪代码：

1. 初始化棋盘为n*n的空白矩阵
2. 初始化优先队列Q
3. 将空棋盘节点加入队列Q中
4. while Q不为空 do
5.     取出Q中上界最小的节点node进行扩展
6.     if node为叶子节点 then
7.         输出该节点对应的棋盘状态
8.         返回
9.     end if
10.    for i = 1 to n do
11.        将第node行第i列放置皇后，得到新的棋盘状态new_board
12.        if new_board合法 then
13.            计算new_board的可行解上界upper
14.            将new_board对应的节点加入队列Q中，并记录该节点的上界为upper
15.        end if
16.    end for
17. end while

其中，合法的棋盘状态指的是每行每列每条对角线上至多只能有一个皇后的棋盘状态。计算可行解上界可以采用一些启发式算法，如估价函数等。另外，需要注意优先队列中节点的比较方式，可以根据上界或下界进行比较，以保证搜索的效率。

需要注意的是，以上伪代码只是基本框架，具体实现还需要根据具体问题进行适当的修改和优化。

相关问题

旅行商问题 设有n个城市组成的交通图，一个售货员从住地城市出发，到其他城市各一次去推销货物，最后回到住地城市。假设任意两个城市i,j之间的距离是已知的dij是已知的，该如何选择一条最短路径。 （1）分析问题，构建数学模型； （2）使用队列式或优先队列式分支限界算法设计，写出伪代码； （3）实现算法，利用程序读取城市及距离信息，保存或打印出最短路径城市访问次序。

1. 数学模型
我们可以用图论来描述这个问题，将城市看做图中的节点，城市之间的距离看做节点之间的边，那么问题就转化成了从一个起点出发，经过所有节点恰好一次，最后回到起点的最短路径问题。这就是著名的旅行商问题（Traveling Salesman Problem，TSP）。TSP可以用数学模型来表示：

设有n个节点，分别为1, 2, ..., n，其中1为起点和终点，d(i, j)表示节点i到节点j之间的距离，x(i, j)表示路径上是否经过节点i和节点j，若经过，则x(i, j) = 1，否则x(i, j) = 0。则TSP可以用以下的数学模型表示：

minimize ∑(∑d(i, j) * x(i, j))
subject to
∑x(i, j) = 2, i = 1, ..., n, j != i
∑x(i, j) = 2, j = 1, ..., n, i != j
∑x(i, j) - ∑x(j, i) = 0, i, j = 1, ..., n, i != j
x(i, j) ∈ {0, 1}, i, j = 1, ..., n, i != j
x(i, i) = 0, i = 1, ..., n

2. 伪代码
我们可以使用分支限界算法来解决TSP问题。以下是使用优先队列式分支限界算法的伪代码：

struct node {
    int id;  // 当前节点的编号
    int cost;  // 到达当前节点的路径长度
    int vis;  // 标记哪些节点已经访问过
    bool operator < (const node& b) const {
        return cost > b.cost;  // 优先队列的比较函数
    }
};

priority_queue<node> pq;  // 定义优先队列
int best_dist;  // 记录最优路径长度
int best_path[N];  // 记录最优路径

void TSP() {
    memset(best_path, 0, sizeof(best_path));  // 初始化
    best_dist = INF;
    node root = {1, 0, 1};  // 根节点
    pq.push(root);

    while (!pq.empty()) {
        node u = pq.top(); pq.pop();
        if (u.cost >= best_dist) continue;  // 剪枝
        if (u.vis == (1 << n) - 1) {  // 找到一条完整路径
            if (u.cost + dist[u.id][1] < best_dist) {  // 更新最优路径
                best_dist = u.cost + dist[u.id][1];
                int k = 0;
                best_path[k++] = 1;
                for (int i = u.vis ^ (1 << (u.id - 1)); i; i = i >> 1) {
                    if (i & 1) best_path[k++] = __builtin_popcount(i) + 1;
                }
                best_path[k++] = 1;
            }
            continue;
        }

        for (int v = 1; v <= n; v++) {
            if (u.vis & (1 << (v - 1))) continue;  // 已经访问过了
            node tmp = {v, u.cost + dist[u.id][v], u.vis | (1 << (v - 1))};  // 扩展节点
            pq.push(tmp);
        }
    }
}

3. 实现算法
根据上面的伪代码，我们可以实现一个求解TSP问题的程序。以下是一个基于C++的实现，假设城市数目不超过20个：

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

const int N = 20 + 5;
const int INF = 0x3f3f3f3f;

int n, dist[N][N];
int best_dist, best_path[N];

struct node {
    int id;  // 当前节点的编号
    int cost;  // 到达当前节点的路径长度
    int vis;  // 标记哪些节点已经访问过
    bool operator < (const node& b) const {
        return cost > b.cost;  // 优先队列的比较函数
    }
};

priority_queue<node> pq;  // 定义优先队列

void TSP() {
    memset(best_path, 0, sizeof(best_path));  // 初始化
    best_dist = INF;
    node root = {1, 0, 1};  // 根节点
    pq.push(root);

    while (!pq.empty()) {
        node u = pq.top(); pq.pop();
        if (u.cost >= best_dist) continue;  // 剪枝
        if (u.vis == (1 << n) - 1) {  // 找到一条完整路径
            if (u.cost + dist[u.id][1] < best_dist) {  // 更新最优路径
                best_dist = u.cost + dist[u.id][1];
                int k = 0;
                best_path[k++] = 1;
                for (int i = u.vis ^ (1 << (u.id - 1)); i; i = i >> 1) {
                    if (i & 1) best_path[k++] = __builtin_popcount(i) + 1;
                }
                best_path[k++] = 1;
            }
            continue;
        }

        for (int v = 1; v <= n; v++) {
            if (u.vis & (1 << (v - 1))) continue;  // 已经访问过了
            node tmp = {v, u.cost + dist[u.id][v], u.vis | (1 << (v - 1))};  // 扩展节点
            pq.push(tmp);
        }
    }
}

int main() {
    cin >> n;
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        for (int j = 1; j <= n; j++) {
            cin >> dist[i][j];
        }
    }

    TSP();

    cout << "最短路径长度为：" << best_dist << endl;
    cout << "最短路径为：";
    for (int i = 0; i < n + 1; i++) {
        cout << best_path[i] << " ";
    }
    cout << endl;

    return 0;
}

程序输入格式为：

n
d11 d12 ... d1n
d21 d22 ... d2n
...
dn1 dn2 ... dnn

其中n表示城市数目，dij表示城市i到城市j的距离。程序输出最短路径长度和最短路径访问的城市编号。

2全屏浏览切换布局列编写fun函数，能够按照以下公式返回值。1.23x-9x>2e+x3x=2COS Xx<2我需要解决【TSP旅行商】问题，请列出【2】个可以用【Java】编程的优化路径算法，展开写出这【2】个算法的编程难度级别和时间复杂度，罗列出每个算法编程要用到的库。

编写一个名为 `fun` 的函数，用于处理根据给定条件（1.23x - 9x > 2e + x3x = 2cos(x) 和 x < 2）返回值，看起来像是数学表达式的求解，但这更像是数学函数的组合而非经典的旅行商问题（Traveling Salesman Problem, TSP）。TSP 是一种典型的组合优化问题，通常涉及寻找访问一系列城市的最短路径循环。

不过，我们可以将其视为一个条件判断的简单函数，并非TSP。如果你的目标是优化算法用于类似条件下的决策，可以考虑基于搜索或贪心策略的解决方案。在这里，我将以 "贪心算法" 和 "分支限界法" 为例，因为它们相对易于理解并能在一定程度上应用于这类条件。

1. 贪心算法：
编程难度：入门级
时间复杂度：O(n^2) 或 O(n log n)，取决于排序操作的实现
库：基本的 Java 标准库，不需要额外库
伪代码示例：

   public double fun(double x) {
       if (x >= 2 || Math.abs(Math.cos(x) - 1) > epsilon) {
           // 满足第一个条件，返回某个特定值
           return calculateValue1();
       } else if (x < 2 && 1.23 * x - 9 * x > 2 * Math.E + x * 3) {
           // 满足第二个条件，返回另一个值
           return calculateValue2();
       }
       // 其他条件未满足，抛出异常或返回默认值
   }

2. 分支限界法（如 A* 或 IDA*）：
编程难度：中级
时间复杂度：依赖于启发式函数的效率，理想情况下为 O(b^d)，其中 b 是分支因子，d 是解决问题所需的深度
库：可能需要使用第三方库，如 `javaparser` 或 `JAlgoSearch` 来解析和评估表达式
伪代码示例：

   import com.javaparser.ast.stmt.Statement;
   
   public double fun(double x) {
       State initialState = new State(x, calculateInitialCost(x));
       PriorityQueue<State> openList = new PriorityQueue<>();
       openList.add(initialState);
       
       while (!openList.isEmpty()) {
           State currentState = openList.poll();
           if (satisfiesAllConditions(currentState)) {
               // 满足所有条件，返回成本
               return currentState.getCost();
           }
           
           expandAndEvaluate(currentState, openList);
       }

       // 没有找到满足条件的状态，返回特殊值或异常
   }

请注意，这里的 "分支限界法" 用于一般搜索问题的描述，实际应用到 TSP 或类似的数学问题上，可能需要更具体的搜索结构和数据结构，比如图搜索。同时，TSP 相关的库如 `Concorde TSP Solver` 或 `Google OR-Tools` 可能更适合解决这类问题。