为什么可以用prim算法求半径最小生成树

Prim 算法的本质是一种贪心算法，在每一次选取一个与当前生成树距离最近的节点加入生成树中。因此，Prim 算法得到的生成树一定是以当前根节点为根的最小生成树。

假设我们已经得到了以节点 $u$ 为根节点的最小生成树 $T$，现在需要求以节点 $v$ 为根节点的最小生成树。我们可以将 $u$ 作为初始根节点，运行 Prim 算法得到以 $u$ 为根节点的最小生成树 $T'$，那么 $T'$ 中与 $v$ 相连的边一定是连接 $u$ 和 $v$ 的最短边。

因此，我们可以将 $T$ 中的边与 $T'$ 中连接 $u$ 和 $v$ 的最短边进行比较，选择权值更小的边，得到以节点 $v$ 为根节点的最小生成树 $T''$。显然，$T''$ 也是以节点 $v$ 为根节点的最小生成树。

综上所述，我们可以使用 Prim 算法得到任意两个节点之间的最小生成树。由于树的半径定义为从根到叶子的最大距离，我们可以按照上述方法求出以每个节点为根节点的最小生成树，然后对所有最小生成树求出直径，取最小值即为半径最小的生成树。

相关问题

prim算法怎么求最小生成树

Prim算法是一种贪心算法，用于解决最小生成树问题。它的基本思想是从一个起点开始，每次找到与当前生成树距离最小的一个点，将其加入生成树中，直到所有点都加入生成树为止。

具体实现步骤如下：

1. 选择任意一个点作为起点，将其加入生成树中。

2. 对于与当前生成树相邻的每个点，计算其与生成树的距离，选择距离最小的一个点并将其加入生成树。

3. 重复步骤2，直到所有点都加入生成树为止。

具体实现时，我们可以使用一个优先队列来维护当前与生成树相邻的点，并选取距离最小的点加入生成树。同时，我们需要使用一个数组记录每个点是否已加入生成树中，以避免重复加入。

Prim算法的时间复杂度为 O(V^2)，其中 V 表示图中节点的数量。如果使用优先队列优化，时间复杂度可以降至 O(ElogV)，其中 E 表示图中边的数量。

用Prim算法求最小生成树

Prim算法是一种贪心算法，用于求解给定带权连通图的最小生成树。

具体步骤如下：

1. 任选一个起点，将其加入生成树中。

2. 从与生成树相邻的点中，选择一条权值最小的边，将其加入生成树中。

3. 重复步骤2，直到所有的点都被加入生成树中。

以下是Prim算法的伪代码：

1. 初始化生成树 T = {s}，其中 s 为起点。

2. 将所有与 s 相邻的边加入边集 E。

3. 重复以下步骤，直到生成树包含所有点：

   a. 在边集 E 中选择一条权值最小的边 (u, v)，将其加入生成树 T 中。

   b. 将点 v 加入生成树 T 中。

   c. 将所有与点 v 相邻的边加入边集 E。

其中，边集 E 可以用优先队列来实现。

Prim算法的时间复杂度为 O(E log V)，其中 E 为边数，V 为点数。