计算出199^200 - 200^199的值
时间: 2023-11-13 16:33:10 浏览: 41
我们可以利用二项式定理来简化计算:
$(a+b)^n=a^n+na^{n-1}b+\frac{n(n-1)}{2!}a^{n-2}b^2+\frac{n(n-1)(n-2)}{3!}a^{n-3}b^3+\cdots+b^n$
将$a=199$,$b=-200$,$n=200$代入上式,得到:
\begin{aligned} (199-200)^{200} &=199^{200}+200\cdot199^{199}\cdot(-200)+\frac{200\cdot199\cdot198}{2!}\cdot199^{198}\cdot200^2\\&\quad+\frac{200\cdot199\cdot198\cdot197}{3!}\cdot199^{197}\cdot(-200)^3+\cdots+(-200)^{200} \end{aligned}
观察上式中的各项系数,发现只有第二项和第四项是负数,其它项都是正数。因此,将上式中的第二项和第四项合并起来,即可得到最终的答案:
\begin{aligned} &199^{200}-200^{199}\\=&(199-200)^{200}+200\cdot199^{199}\cdot200-200\cdot199^{199}\cdot200\\&+\frac{200\cdot199\cdot198}{2!}\cdot199^{198}\cdot200^2-\frac{200\cdot199\cdot198}{2!}\cdot199^{198}\cdot200^2+\cdots\\=&(200)^{200}-200\cdot199^{199}\cdot2+\frac{200\cdot199\cdot198}{2!}\cdot199^{198}\cdot2^2-\frac{200\cdot199\cdot198\cdot197}{3!}\cdot199^{197}\cdot2^3+\cdots\\=&\boxed{200^{200}-2\cdot199^{199}} \end{aligned}