用C语言实现求Logit-Log3P算法参数的方法,列出算法求值公式

Logit-Log3P算法是一种用于拟合二项分布模型的参数估计方法，其主要目的是用于对物品的质量进行评估或排序。下面是用C语言实现求Logit-Log3P算法参数的方法，并列出算法求值公式：

算法公式：

$$
\begin{aligned}
&\text{Logit-Log3P:}\quad p_i=\frac{1}{1+e^{-\alpha(q_i-\beta)}}\\
&\text{对数似然函数：}\quad LL=\sum\limits_{i=1}^{n}(c_i\log p_i+(r_i-c_i)\log (1-p_i))\\
&\text{偏导数：}\quad \frac{\partial LL}{\partial \alpha}=\sum\limits_{i=1}^{n}(c_i-r_i+p_i\times r_i-p_i\times c_i)\times (q_i-\beta)\\
&\quad \qquad \quad \frac{\partial LL}{\partial \beta}=\sum\limits_{i=1}^{n}(c_i-r_i+p_i\times r_i-p_i\times c_i)\times \alpha\\
&\quad \qquad \quad \frac{\partial LL}{\partial \gamma}=\sum\limits_{i=1}^{n}(c_i-r_i+p_i\times r_i-p_i\times c_i)
\end{aligned}
$$

其中，$p_i$表示物品$i$被选中的概率，$c_i$表示选择物品$i$的次数，$r_i$表示未选择物品$i$的次数，$q_i$表示物品$i$的质量，$\alpha$、$\beta$、$\gamma$为需要估计的参数。

C语言代码实现：

#include <stdio.h>
#include <math.h>

#define MAXN 1000

double alpha, beta, gamma;
double p[MAXN], q[MAXN];
int c[MAXN], r[MAXN];
int n;

void calc_p() {
    for (int i = 0; i < n; i++) {
        p[i] = 1.0 / (1.0 + exp(-alpha * (q[i] - beta)));
    }
}

double calc_ll() {
    double ll = 0.0;
    for (int i = 0; i < n; i++) {
        ll += c[i] * log(p[i]) + (r[i] - c[i]) * log(1.0 - p[i]);
    }
    return ll;
}

void calc_derivative(double *da, double *db, double *dg) {
    double dalpha = 0.0, dbeta = 0.0, dgamma = 0.0;
    for (int i = 0; i < n; i++) {
        double tmp = c[i] - r[i] + p[i] * r[i] - p[i] * c[i];
        dalpha += tmp * (q[i] - beta);
        dbeta += tmp * alpha;
        dgamma += tmp;
    }
    *da = dalpha;
    *db = dbeta;
    *dg = dgamma;
}

void logit_log3p() {
    double alpha0 = 1.0, beta0 = 1.0, gamma0 = 1.0;
    double eps = 1e-8, step = 0.01;
    int max_iter = 1000, iter = 0;
    double ll0 = calc_ll(), ll1 = 0.0;
    while (iter < max_iter) {
        iter++;
        alpha = alpha0 + step;
        calc_p();
        double ll = calc_ll();
        double da = 0.0, db = 0.0, dg = 0.0;
        calc_derivative(&da, &db, &dg);
        while (ll > ll0 && step > eps) {
            step /= 2.0;
            alpha = alpha0 + step;
            calc_p();
            ll = calc_ll();
            calc_derivative(&da, &db, &dg);
        }
        alpha = alpha0 - da / (n * step);
        beta = beta0 - db / (n * step);
        gamma = gamma0 - dg / (n * step);
        calc_p();
        ll1 = calc_ll();
        if (fabs(ll1 - ll0) < eps) break;
        ll0 = ll1;
        alpha0 = alpha;
        beta0 = beta;
        gamma0 = gamma;
    }
}

int main() {
    scanf("%d", &n);
    for (int i = 0; i < n; i++) {
        scanf("%lf%d%d", &q[i], &c[i], &r[i]);
    }
    logit_log3p();
    printf("%.6f %.6f %.6f", alpha, beta, gamma);
    return 0;
}

在实现中，我们首先定义了Logit-Log3P算法的公式，并用C语言实现了计算$p_i$、对数似然函数$LL$和偏导数的函数。然后，我们使用梯度下降法来优化参数$\alpha$、$\beta$、$\gamma$的值，对数似然函数的值越大，表示拟合的模型越好，所以我们通过不断调整参数，使得对数似然函数的值不断增加，最终得到最优的参数值。