共轭梯度法对称正定线性方程组求解

共轭梯度法是一种用于求解对称正定线性方程组的迭代方法。其核心思想是利用前一次迭代的信息来加速当前迭代的收敛速度。具体来说，共轭梯度法通过选择一组共轭的搜索方向，每次只沿着其中一个方向进行迭代，从而使得每次迭代后残差向量在一个Krylov子空间内。这个Krylov子空间是由初始残差向量和矩阵A的一些幂次向量生成的。

共轭梯度法的优点是收敛速度快，特别是对于大规模的稀疏矩阵求解问题。然而，它也有一些缺点，比如需要知道矩阵的特征值和特征向量，对于非对称矩阵或条件数较大的矩阵求解效果不佳等。

总的来说，共轭梯度法是一种高效的对称正定线性方程组求解方法，可以在实际应用中得到广泛的应用。

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共轭梯度法求解对称正定线性方程组matlab代码

以下是使用共轭梯度法求解对称正定线性方程组的 MATLAB 代码：

function [x,flag,iter,residual] = cg(A,b,x0,tol,maxit)

% 初始化
n = size(A,1);
x = x0;
r = b - A*x;
p = r;
iter = 0;
residual = norm(r);

% 迭代
while residual > tol && iter < maxit
    Ap = A*p;
    alpha = (r'*r)/(p'*Ap);
    x = x + alpha*p;
    r_old = r;
    r = r - alpha*Ap;
    beta = (r'*r)/(r_old'*r_old);
    p = r + beta*p;
    residual = norm(r);
    iter = iter + 1;
end

% 输出结果
if residual <= tol
    flag = 0; % 成功收敛
else
    flag = 1; % 迭代达到最大次数但未收敛
end

其中，输入参数为：

- A：对称正定矩阵（必须是方阵）。
- b：列向量，表示方程组 Ax=b 中的 b 向量。
- x0：列向量，表示迭代的初始解。
- tol：标量，表示迭代停止的相对残差阈值。
- maxit：标量，表示最大迭代次数。

输出参数为：

- x：列向量，表示方程组 Ax=b 的解。
- flag：标量，表示迭代的收敛情况，flag = 0 表示成功收敛，flag = 1 表示迭代达到最大次数但未收敛。
- iter：标量，表示迭代次数。
- residual：标量，表示最终的相对残差。

使用方法：

假设要求解的线性方程组为 Ax = b，其中 A 是一个对称正定矩阵，b 是一个列向量，可以按照以下方式调用 cg 函数：

A = ...; % 对称正定矩阵
b = ...; % 列向量
x0 = ...; % 初始解
tol = ...; % 相对残差阈值
maxit = ...; % 最大迭代次数
[x,flag,iter,residual] = cg(A,b,x0,tol,maxit);

其中，x 是求解得到的列向量，flag 表示迭代的收敛情况，iter 表示迭代次数，residual 表示最终的相对残差。

共轭梯度法求解对称正定线性方程组的matlab代码

以下是使用共轭梯度法求解对称正定线性方程组的 Matlab 代码：

function [x, iter] = conjGrad(A, b, x0, tol, maxiter)
% INPUTS:
% A - 对称正定矩阵
% b - 右侧向量
% x0 - 初始解向量
% tol - 容差
% maxiter - 最大迭代次数
%
% OUTPUTS:
% x - 迭代的解向量
% iter - 迭代次数

% 初始化变量
r = b - A*x0;
p = r;
x = x0;
iter = 0;

while norm(r) > tol && iter < maxiter
    iter = iter + 1;
    alpha = (r'*r) / (p'*A*p);
    x = x + alpha*p;
    r_new = r - alpha*A*p;
    beta = (r_new'*r_new) / (r'*r);
    p = r_new + beta*p;
    r = r_new;
end

end

其中，输入的矩阵 A 必须是对称正定矩阵，否则共轭梯度法可能无法收敛。函数返回的解向量 x 和迭代次数 iter 都可以用于评估算法的效果和收敛速度。