如何在MATLAB中实现LU分解并求解线性方程组？请提供一个完整的代码示例及其执行过程的详细解释。

在MATLAB中实现LU分解以求解线性方程组，首先需要理解LU分解将系数矩阵A分解为一个下三角矩阵L和一个上三角矩阵U的过程。随后，通过前向替换和后向替换步骤来求解线性方程组。以下是一个完整的代码示例及其详细步骤：

参考资源链接：[MATLAB实现LU分解解线性方程组](https://wenku.csdn.net/doc/1w5rj2jxad?spm=1055.2569.3001.10343)

    function [L, U, x] = lu_decomposition(A, b)
        % A为系数矩阵，b为常系数向量
        % L为下三角矩阵，U为上三角矩阵，x为解向量
        
        [n, m] = size(A);
        if n ~= m
            error('系数矩阵A必须是方阵');
        end
        
        % 初始化L和U
        L = eye(n); % 单位矩阵
        U = zeros(n);
        
        % Doolittle分解法
        for j = 1:n
            % 计算U的第j列
            for i = j:n
                sum = 0;
                for k = 1:j-1
                    sum = sum + L(i, k) * U(k, j);
                end
                U(i, j) = A(i, j) - sum;
            end
            
            % 计算L的第j行
            for i = j+1:n
                sum = 0;
                for k = 1:j-1
                    sum = sum + L(j, k) * U(k, i);
                end
                L(j, i) = (A(j, i) - sum) / U(j, j);
            end
        end
        
        % 检查矩阵是否可逆（U的对角线元素不应为零）
        for i = 1:n
            if U(i, i) == 0
                error('矩阵不可逆');
            end
        end
        
        % 前向替换求解Ly=b
        y = zeros(n, 1);
        for i = 1:n
            sum = 0;
            for j = 1:i-1
                sum = sum + L(i, j) * y(j);
            end
            y(i) = (b(i) - sum) / L(i, i);
        end
        
        % 后向替换求解Ux=y
        x = zeros(n, 1);
        for i = n:-1:1
            sum = 0;
            for j = i+1:n
                sum = sum + U(i, j) * x(j);
            end
            x(i) = (y(i) - sum) / U(i, i);
        end
    end

上述代码中，`lu_decomposition`函数首先检查输入矩阵A是否为方阵，并初始化L和U矩阵。接着，使用Doolittle算法进行LU分解，并确保矩阵A可逆。最后，通过前向替换和后向替换步骤求得线性方程组的解向量x。

为使代码能够正常运行，请确保提供完整的系数矩阵A和常系数向量b，并调用函数`lu_decomposition(A, b)`即可得到结果。这个过程是数值计算方法教学中的一个典型案例，适用于大二学生学习MATLAB编程和数值计算方法的上机作业。通过实际操作这个示例，学生可以更好地理解LU分解的原理及其在解决线性方程组中的应用。

当你完成这个上机作业后，为了进一步加深对LU分解及线性代数其他数值方法的理解，建议参阅更多相关资料，如《MATLAB实现LU分解解线性方程组》，该资料提供了更多实例和注释，有助于巩固你的学习成果，并扩展你在数值计算领域的知识。

参考资源链接：[MATLAB实现LU分解解线性方程组](https://wenku.csdn.net/doc/1w5rj2jxad?spm=1055.2569.3001.10343)