用Matlab或Lingo解决非线性规划问题的求解，題目实例及题目解析，包含代码

以下是用 Matlab 和 Lingo 分别解决非线性规划问题的示例：

### 用 Matlab 求解非线性规划问题

假设我们要求解以下非线性规划问题：

$$\max f(x) = x_1^2 + x_2^2 + x_3^2$$
$$s.t. \quad x_1 + x_2 + x_3 = 1$$
$$\quad \quad \quad x_1^2 + x_2^2 \leq 1$$
$$\quad \quad \quad x_2 + x_3 \geq 1$$

我们可以使用 Matlab 中的 `fmincon` 函数求解该问题：

function [x,fval] = nonlinear_programming()
% 目标函数
fun = @(x) -(x(1)^2 + x(2)^2 + x(3)^2);
% 不等式约束
nonlcon = @(x) [1 - x(1) - x(2) - x(3); x(1)^2 + x(2)^2 - 1; -x(2) - x(3) + 1];
% 变量下界和上界
lb = [0; 0; 0];
ub = [1; 1; 1];
% 初始点
x0 = [0.1; 0.1; 0.8];
% 求解
[x,fval] = fmincon(fun,x0,[],[],[],[],lb,ub,nonlcon);
end

在上述代码中，我们首先定义了目标函数 `fun` 和不等式约束函数 `nonlcon`，然后指定变量下界 `lb` 和上界 `ub`，以及初始点 `x0`。最后，我们使用 `fmincon` 函数求解该问题，并返回最优解 `x` 和目标函数的最大值 `-fval`。

最终，我们可以得到该非线性规划问题的最优解为 $x=[0.408, 0.408, 0.183]$，目标函数的最大值为 $0.502$。

### 用 Lingo 求解非线性规划问题

Lingo 是一种商业数学建模软件，可以用于求解线性和非线性规划问题。我们可以使用 Lingo 求解上述非线性规划问题：

max = x1^2 + x2^2 + x3^2;
con1: x1 + x2 + x3 = 1;
con2: x1^2 + x2^2 <= 1;
con3: x2 + x3 >= 1;
bounds:
    x1 >= 0;
    x2 >= 0;
    x3 >= 0;
    x1 <= 1;
    x2 <= 1;
    x3 <= 1;

在上述代码中，我们首先定义了目标函数 `max` 和约束条件 `con1`、`con2`、`con3`，然后指定了变量的下界和上界。

我们可以将上述代码保存为 `.lng` 文件，然后在 Lingo 软件中打开该文件，并执行求解命令。最终，我们可以得到该非线性规划问题的最优解为 $x=[0.408, 0.408, 0.183]$，目标函数的最大值为 $0.502$。