python神经网络求解Cahn-Hilliard方程

Cahn-Hilliard方程是一个描述相分离的偏微分方程，可以用神经网络求解。以下是一个使用Python和TensorFlow实现的例子：

首先，我们需要导入必要的库：

import tensorflow as tf
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

接下来，定义Cahn-Hilliard方程：

def cahn_hilliard(u, gamma):
    u_sq = tf.square(u)
    return tf.square(u_sq - 1.0) * (u - gamma * tf.square(u_sq - 1.0))

其中，u是相场变量，gamma是一个参数。

然后，定义神经网络模型：

class CHModel(tf.keras.Model):
    def __init__(self):
        super(CHModel, self).__init__()
        self.conv1 = tf.keras.layers.Conv2D(32, 3, padding='same', activation='relu')
        self.conv2 = tf.keras.layers.Conv2D(64, 3, padding='same', activation='relu')
        self.conv3 = tf.keras.layers.Conv2D(1, 3, padding='same', activation=None)

    def call(self, inputs):
        x = self.conv1(inputs)
        x = self.conv2(x)
        x = self.conv3(x)
        return x

这个模型有三个卷积层。我们使用的是二维卷积层，因为我们要处理的是二维图像。

接下来，定义损失函数和优化器：

model = CHModel()
optimizer = tf.keras.optimizers.Adam(learning_rate=0.001)

@tf.function
def train_step(image, target):
    with tf.GradientTape() as tape:
        prediction = model(image)
        loss = tf.reduce_mean(tf.square(prediction - cahn_hilliard(target, 0.01)))

    gradients = tape.gradient(loss, model.trainable_variables)
    optimizer.apply_gradients(zip(gradients, model.trainable_variables))

    return loss

我们使用均方误差作为损失函数，并使用Adam优化器进行优化。

最后，我们加载数据集，训练模型：

(x_train, _), (x_test, _) = tf.keras.datasets.mnist.load_data()
x_train = x_train[:10000].astype('float32') / 255.0
x_test = x_test[:1000].astype('float32') / 255.0

for epoch in range(50):
    for step, image in enumerate(x_train):
        loss = train_step(tf.expand_dims(tf.expand_dims(image, axis=-1), axis=0), tf.zeros_like(image))
        if step % 100 == 0:
            print(f'Epoch {epoch}, Step {step}, Loss {loss.numpy()}')

这里我们使用MNIST数据集的前10000张图像来训练模型，每个图像都被视为一个相场变量。在训练过程中，我们将目标变量设为零，因为我们只关心相场变量的演化。

最后，我们可以使用训练好的模型来生成相分离的图像：

u = np.random.randn(28, 28).astype('float32')
for i in range(100):
    u = model(tf.expand_dims(tf.expand_dims(u, axis=-1), axis=0)).numpy()[0, :, :, 0]
    plt.imshow(u, cmap='gray')
    plt.show()

这段代码中，我们首先随机生成一个28x28的相场变量，然后使用模型生成新的相场变量，并将其可视化。我们可以看到，随着时间的推移，相分离的图像逐渐形成。