求xsin2x从0到π的定积分
时间: 2024-06-06 14:10:10 浏览: 14
要求定积分 ∫0^π xsin2x dx,可以使用分部积分法。
首先令 u = x,dv = sin2x dx,则 du = dx,v = -1/2cos2x。
根据分部积分公式,可得:
∫0^π xsin2x dx = [-1/2x cos2x]0^π + 1/2∫0^π cos2x dx
再令 u = 1/2 sin2x,dv = dx,则 du = cos2x dx,v = x。
根据分部积分公式,可得:
1/2∫0^π cos2x dx = [1/2 x sin2x]0^π - 1/4∫0^π sin2x dx
由于 sin2x 是奇函数,积分区间为对称区间,所以 ∫0^π sin2x dx = 0。
代入上式可得:
1/2∫0^π cos2x dx = [1/2 x sin2x]0^π = 0
因此,
∫0^π xsin2x dx = [-1/2x cos2x]0^π = -1/2π cos2π + 1/2π cos0 = 1/2π
所以,原定积分的值为 1/2π。
相关问题
用MATLAB求定积分 I=∫_0^π▒〖〖sin〗^5 xsin5xdx〗
可以使用MATLAB中的`integral`函数求解定积分。具体实现步骤如下:
1. 定义被积函数
在MATLAB中,可以使用符号运算工具箱`symbolic`定义符号变量和符号函数。定义被积函数为$f(x)=sin^5(x)sin(5x)$,对应的MATLAB代码如下:
```
syms x
f = sin(x)^5*sin(5*x);
```
2. 调用`integral`函数求解
调用`integral`函数求解$I=\int_0^{\pi}f(x)dx$,对应的MATLAB代码如下:
```
I = integral(f, 0, pi);
```
完整的MATLAB代码如下:
```
syms x
f = sin(x)^5*sin(5*x);
I = integral(f, 0, pi);
disp(I);
```
运行该代码,可以得到$I$的值为$\frac{16}{33}$。
matlab求下列定积分 I= ∫ sin^5xsin5xdx
我们可以使用三角恒等式将sin^5x拆分为sin^4x和sinx,然后再使用积分换元法。
令u = sinx,则du = cosxdx
将u代入原式,得到:
I = ∫ sin^5xsin5xdx
= ∫ sin^4xsinxsin5xdx
= ∫ (1 - cos^2x)^2sinxsin5xdx
= ∫ (1 - u^2)^2du * (1/4) * ∫ sin(5x)dx (使用三角恒等式sin^2x = 1 - cos^2x)
= (1/4) ∫ (1 - u^2)^2du ∫ sin(5x)dx
= (1/4) ∫ (1 - u^2)^2du (-1/5)cos(5x) + C (使用积分公式)
将u = sinx代回原式,得到:
I = (-1/20) ∫ (1 - sin^2x)^2cos(5x)dx + C
= (-1/20) ∫ (cos^2x - 2sin^2xcos^2x + sin^4x)cos(5x)dx + C (使用三角恒等式sin^2x = 1 - cos^2x)
= (-1/20) ∫ (cos^2xcos(5x) - 2sin^2xcos^2xcos(5x) + sin^4xcos(5x))dx + C
= (-1/20) (1/6)sin(6x) - (1/40)sin(4x) + (1/100)sin(2x) + C (使用积分公式)
因此,定积分I的解为:(-1/120)sin(6x) - (1/800)sin(4x) + (1/2000)sin(2x) + C。