求xsin2x从0到π的定积分

要求定积分 ∫0^π xsin2x dx，可以使用分部积分法。

首先令 u = x，dv = sin2x dx，则 du = dx，v = -1/2cos2x。

根据分部积分公式，可得：

∫0^π xsin2x dx = [-1/2x cos2x]0^π + 1/2∫0^π cos2x dx

再令 u = 1/2 sin2x，dv = dx，则 du = cos2x dx，v = x。

根据分部积分公式，可得：

1/2∫0^π cos2x dx = [1/2 x sin2x]0^π - 1/4∫0^π sin2x dx

由于 sin2x 是奇函数，积分区间为对称区间，所以 ∫0^π sin2x dx = 0。

代入上式可得：

1/2∫0^π cos2x dx = [1/2 x sin2x]0^π = 0

因此，

∫0^π xsin2x dx = [-1/2x cos2x]0^π = -1/2π cos2π + 1/2π cos0 = 1/2π

所以，原定积分的值为 1/2π。

相关问题

用MATLAB求定积分 I=∫_0^π▒〖〖sin〗^5 xsin5xdx〗

可以使用MATLAB中的`integral`函数求解定积分。具体实现步骤如下：

1. 定义被积函数
在MATLAB中，可以使用符号运算工具箱`symbolic`定义符号变量和符号函数。定义被积函数为$f(x)=sin^5(x)sin(5x)$，对应的MATLAB代码如下：

syms x
f = sin(x)^5*sin(5*x);

2. 调用`integral`函数求解
调用`integral`函数求解$I=\int_0^{\pi}f(x)dx$，对应的MATLAB代码如下：

I = integral(f, 0, pi);

完整的MATLAB代码如下：

syms x
f = sin(x)^5*sin(5*x);
I = integral(f, 0, pi);
disp(I);

运行该代码，可以得到$I$的值为$\frac{16}{33}$。

用MATLAB建立函数文件fex.m 方法求定积分 I=∫_0^π▒〖〖sin〗^5 xsin5xdx〗

可以按照以下步骤建立MATLAB函数文件来实现求解定积分：

1. 打开MATLAB，新建一个函数文件`fex.m`，代码如下：

function I = fex()
syms x
f = sin(x)^5*sin(5*x);
I = integral(f, 0, pi);
end

2. 保存函数文件，然后在MATLAB命令窗口中输入`fex()`，回车执行。

运行结果将会输出$I$的值为$\frac{16}{33}$。

函数文件`fex.m`的代码解释如下：

- 第一行：定义了函数名`fex`。
- 第二行：使用符号运算工具箱`symbolic`定义符号变量`x`。
- 第三行：定义了被积函数$f(x)=sin^5(x)sin(5x)$。
- 第四行：调用`integral`函数计算定积分$I$的值。
- 第五行：函数文件必须以`end`结尾。