求微分方程的解析解,并画出它们的图形 x³y’”+x²y”-4xy’=Зx² y(0.1)=y’(0.1)=2,y” (0.1)=1

首先，我们可以将该微分方程变形为

x^3y''' + x^2y'' - 4xy' = 0

然后，我们可以猜测一个特定的解y1(x) = x，这个解的三阶导数都为0，代入微分方程中有：

x^3 (0) + x^2 (0) - 4x(1) = 0

解得x = 0或y'(x) = -1/4

因此，我们可以得到通解为：

y(x) = c1x + c2/x + c3ln(x) (其中c1、c2、c3为常数)

接着，我们可以利用初始条件y(0.1) = y'(0.1) = 2和y''(0.1) = 1来求解常数c1、c2、c3。

首先，代入y(0.1) = 2，得到：

c1(0.1) + c2/0.1 + c3ln(0.1) = 2

接下来，对y(x)求导，得到：

y'(x) = c1 - c2/x^2 + c3/x

代入y'(0.1) = 2，得到：

c1 - c2/0.1^2 + c3/0.1 = 2

最后，对y(x)再求一次导数，得到：

y''(x) = 2c2/x^3 - c3/x^2

代入y''(0.1) = 1，得到：

2c2/0.1^3 - c3/0.1^2 = 1

解这个方程组，可以得到c1 = 2.0253，c2 = -0.0524，c3 = 0.1067

因此，该微分方程的解析解为：

y(x) = 2.0253x - 0.0524/x + 0.1067ln(x)

下面是该函数的图形：


相关问题

求微分方程的解析解,并画出它们的图1) y4)= y, y(0) =y’(0) =2,y”(0)=y’” (0) = 2) x³y’”+x²y”-4xy’=Зx² y(0.1)=y’(0.1)=2,y” (0.1)=1

1) y^4 = y

我们可以将它转化为 y^3 = 1，然后求导得到：

3y^2 * y' = 0

y' = 0

所以 y = C，其中 C 为任意常数。

由边界条件 y(0) = y'(0) = 2，得到 C = 2。

因此，解析解为 y = 2，它的图像为一条水平直线。

2) x³y" + x²y' - 4xy = 0

首先，我们可以将它化为标准形式：

y" + (2/x) y' - (4/x³) y = 0

我们可以猜测一个特解为 y = x^r，然后代入原方程得到：

r(r-1)x^r + 2rx^r - 4x^r = 0

r^2 - 2r + 4 = 0

r = 1 ± i√3

因此，通解为 y = c1 x^（1+i√3）+ c2 x^（1-i√3）。

由边界条件 y(0.1)=2，y'(0.1)=2，y"(0.1)=1，我们可以得到：

c1 + c2 = 2

(1+i√3) c1 + (1-i√3) c2 = 2

(1+i√3)^2 c1 + (1-i√3)^2 c2 = 1

解这个方程组，可以得到：

c1 = (2+2i√3)/12

c2 = (2-2i√3)/12

因此，解析解为：

y = [(2+2i√3)/12] x^（1+i√3）+ [(2-2i√3)/12] x^（1-i√3）。

它的图像比较复杂，可以用计算机绘制。

%% f = @(x) x(1)^2 + x(2)^2 + 2*x(1)*x(2); nonlcon = @(x) deal(x(1)^2 + x(2)^2 - 1, []); %Задайте начальную точку и размер области доверия x0 = [1, 0]; delta = 0.1; %Установите параметры оптимизации options = optimoptions('fmincon', 'Algorithm', 'interior-point', 'Display', 'iter', 'SpecifyObjectiveGradient', true, 'SpecifyConstraintGradient', true); %Запустите алгоритм TRSQP [x, fval] = fmincon(f, x0, [], [], [], [], [], [], nonlcon, options); %%

这是另一个使用 MATLAB 的 fmincon 函数来进行非线性规划的例子。其中，目标函数 f 是一个关于两个变量 x1 和 x2 的二次函数，非线性约束条件由 nonlcon 函数给出，具体为一个圆形约束条件。初始点 x0 和区域大小 delta 给出了一个初始的可行解区域。options 指定了优化算法的参数。最后，将问题传递给 fmincon 函数进行求解，求解结果包括最优解 x 和目标函数在最优解处的取值 fval。

这个例子使用了 interior-point 算法，并且指定了目标函数梯度和约束条件梯度。在优化过程中，算法会输出一系列信息，例如每次迭代的目标函数值和约束条件值等。